Semantyka operacji

Poniżej opisano semantykę operacji zdefiniowanych w interfejsie XlaBuilder . Zazwyczaj te operacje odwzorowują jeden do jednego na operacje zdefiniowane w interfejsie RPC w xla_data.proto .

Uwaga na temat nazewnictwa: uogólniony typ danych, z którym ma do czynienia XLA, to N-wymiarowa tablica zawierająca elementy pewnego jednolitego typu (takiego jak 32-bitowa liczba zmiennoprzecinkowa). W całej dokumentacji tablica jest używana do oznaczenia tablicy o dowolnych wymiarach. Dla wygody przypadki specjalne mają bardziej szczegółowe i znane nazwy; na przykład wektor jest tablicą 1-wymiarową, a macierz jest tablicą 2-wymiarową.

W końcu

Zobacz także XlaBuilder::AfterAll .

AfterAll pobiera zmienną liczbę tokenów i produkuje jeden token. Tokeny są prymitywnymi typami, które mogą być przeplatane między operacjami z efektem ubocznym w celu wymuszenia uporządkowania. AfterAll może służyć jako łączenie tokenów do zlecenia operacji po operacjach na zestawie.

AfterAll(operands)

WszyscyZgromadź

Zobacz także XlaBuilder::AllGather .

Wykonuje konkatenację między replikami.

AllGather(operand, all_gather_dim, shard_count, replica_group_ids, channel_id)

• replica_groups to lista grup replik, pomiędzy którymi przeprowadzana jest konkatenacja (identyfikator repliki dla bieżącej repliki można pobrać za pomocą ReplicaId ). Kolejność replik w każdej grupie określa kolejność, w jakiej ich dane wejściowe są umieszczane w wyniku. replica_groups muszą być puste (w takim przypadku wszystkie repliki należą do jednej grupy uporządkowanej od 0 do N - 1 ) lub zawierać taką samą liczbę elementów, jak liczba replik. Na przykład replica_groups = {0, 2}, {1, 3} wykonuje konkatenację między replikami 0 i 2 oraz 1 i 3 .
• shard_count to rozmiar każdej grupy replik. Potrzebujemy tego w przypadkach, gdy replica_groups są puste.
• channel_id jest używany do komunikacji między modułami: tylko operacje all-gather z tym samym channel_id mogą się ze sobą komunikować.

Kształt wyjściowy jest kształtem wejściowym z all_gather_dim powiększonym shard_count razy. Na przykład, jeśli istnieją dwie repliki, a operand ma wartość odpowiednio [1.0, 2.5] i [3.0, 5.25] na dwóch replikach, to wartość wyjściowa z tej operacji, gdzie all_gather_dim wynosi 0 , będzie wynosić [1.0, 2.5, 3.0, 5.25] na obu replikach.

WszystkieRedukuj

Zobacz także XlaBuilder::AllReduce .

Wykonuje niestandardowe obliczenia w replikach.

AllReduce(operand, computation, replica_group_ids, channel_id)

• Gdy operand jest krotką tablic, operacja all-reduce jest wykonywana na każdym elemencie krotki.
• replica_groups to lista grup replik, pomiędzy którymi przeprowadzana jest redukcja (identyfikator repliki dla bieżącej repliki można pobrać za pomocą ReplicaId ). replica_groups muszą być puste (w takim przypadku wszystkie repliki należą do jednej grupy) lub zawierać taką samą liczbę elementów, jak liczba replik. Na przykład replica_groups = {0, 2}, {1, 3} wykonuje redukcję między replikami 0 i 2 oraz 1 i 3 .
• channel_id jest używany do komunikacji między modułami: tylko operacje all-reduce z tym samym channel_id mogą się ze sobą komunikować.

Kształt wyjściowy jest taki sam jak kształt wejściowy. Na przykład, jeśli istnieją dwie repliki, a operand ma odpowiednio wartość [1.0, 2.5] i [3.0, 5.25] w obu replikach, wówczas wartość wyjściowa z tego obliczenia operacji i sumowania będzie wynosić [4.0, 7.75] w obu repliki. Jeśli wejście jest krotką, wyjście również jest krotką.

Obliczenie wyniku AllReduce wymaga jednego wejścia z każdej repliki, więc jeśli jedna replika wykona węzeł AllReduce więcej razy niż inna, poprzednia replika będzie czekać w nieskończoność. Ponieważ wszystkie repliki działają z tym samym programem, nie ma wielu sposobów, aby tak się stało, ale jest to możliwe, gdy warunek pętli while zależy od danych z źródła wejściowego, a dane, które są podawane, powodują, że pętla while wykonuje więcej iteracji razy na jednej replice niż na innej.

Wszystko do wszystkich

Zobacz także XlaBuilder::AllToAll .

AllToAll to operacja zbiorcza, która wysyła dane ze wszystkich rdzeni do wszystkich rdzeni. Ma dwie fazy:

1. Faza rozproszenia. W każdym rdzeniu operand jest dzielony na liczbę bloków split_count wzdłuż split_dimensions , a bloki są rozproszone na wszystkie rdzenie, np. i-ty blok jest wysyłany do i-tego rdzenia.
2. Faza zbierania. Każdy rdzeń łączy odebrane bloki wzdłuż concat_dimension .

Uczestniczące rdzenie można skonfigurować za pomocą:

• replica_groups : każda ReplicaGroup zawiera listę identyfikatorów replik uczestniczących w obliczeniach (identyfikator replik dla bieżącej repliki można pobrać za pomocą ReplicaId ). AllToAll zostanie zastosowany w podgrupach w określonej kolejności. Na przykład replica_groups = { {1,2,3}, {4,5,0} } oznacza, że ​​AllToAll zostanie zastosowany w replikach {1, 2, 3} oraz w fazie zbierania, a odebrane bloki zostaną być łączone w tej samej kolejności 1, 2, 3. Następnie w replikach 4, 5, 0 zostanie zastosowana inna opcja AllToAll, a kolejność konkatenacji to również 4, 5, 0. Jeśli replica_groups jest pusta, wszystkie repliki należą do jednej grupy, w kolejności łączenia ich występowania.

Wymagania wstępne:

• Rozmiar wymiaru operandu na split_dimension jest podzielny przez split_count .
• Kształt operandu nie jest krotką.

AllToAll(operand, split_dimension, concat_dimension, split_count, replica_groups)

Poniżej przedstawiono przykład Alltoall.

XlaBuilder b("alltoall");
auto x = Parameter(&b, 0, ShapeUtil::MakeShape(F32, {4, 16}), "x");
AllToAll(x, /*split_dimension=*/1, /*concat_dimension=*/0, /*split_count=*/4);

W tym przykładzie są 4 rdzenie biorące udział w Alltoall. W każdym rdzeniu operand jest podzielony na 4 części wzdłuż wymiaru 0, więc każda część ma kształt f32[4,4]. 4 części są rozproszone we wszystkich rdzeniach. Następnie każdy rdzeń łączy otrzymane części wzdłuż wymiaru 1, w kolejności rdzenia 0-4. Zatem wyjście na każdym rdzeniu ma kształt f32[16,4].

Gradacja normy wsadowej

Zobacz także XlaBuilder::BatchNormGrad i oryginalny artykuł o normalizacji wsadowej, aby uzyskać szczegółowy opis algorytmu.

Oblicza gradienty normy partii.

BatchNormGrad(operand, scale, mean, variance, grad_output, epsilon, feature_index)

Dla każdej cechy w wymiarze cechy ( feature_index jest indeksem wymiaru cechy w operand ), operacja oblicza gradienty w odniesieniu do operand , offset i scale we wszystkich pozostałych wymiarach. feature_index musi być poprawnym indeksem dla wymiaru cechy w operand .

Trzy gradienty są zdefiniowane za pomocą następujących wzorów (zakładając jako operand 4-wymiarową tablicę i indeks wymiaru cechy l , wielkość partii m oraz rozmiary przestrzenne w i h ):

\[ \begin{split} c_l&= \frac{1}{mwh}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^w\sum_{k=1}^h \left( \nabla y_{ijkl} \frac{x_{ijkl} - \mu_l}{\sigma^2_l+\epsilon} \right) \\\\ d_l&= \frac{1}{mwh}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^w\sum_{k=1}^h \nabla y_{ijkl} \\\\ \nabla x_{ijkl} &= \frac{\gamma_{l} }{\sqrt{\sigma^2_{l}+\epsilon} } \left( \nabla y_{ijkl} - d_l - c_l (x_{ijkl} - \mu_{l}) \right) \\\\ \nabla \gamma_l &= \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^w\sum_{k=1}^h \left( \nabla y_{ijkl} \frac{x_{ijkl} - \mu_l}{\sqrt{\sigma^2_{l}+\epsilon} } \right) \\\\\ \nabla \beta_l &= \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^w\sum_{k=1}^h \nabla y_{ijkl} \end{split} \]

mean i variance danych wejściowych reprezentują wartości momentów w wymiarach wsadowych i przestrzennych.

Typ wyjściowy to krotka trzech uchwytów:

Wnioskowanie norm wsadowych

Zobacz także XlaBuilder::BatchNormInference i oryginalny artykuł o normalizacji wsadowej, aby uzyskać szczegółowy opis algorytmu.

Normalizuje tablicę w wymiarach wsadowych i przestrzennych.

BatchNormInference(operand, scale, offset, mean, variance, epsilon, feature_index)

Dla każdej cechy w wymiarze cechy ( feature_index jest indeksem wymiaru cechy w operand ), operacja oblicza średnią i wariancję dla wszystkich innych wymiarów i wykorzystuje średnią i wariancję do normalizacji każdego elementu w operand . feature_index musi być poprawnym indeksem dla wymiaru cechy w operand .

BatchNormInference jest odpowiednikiem wywołania BatchNormTraining bez obliczania mean i variance dla każdej partii. Zamiast tego wykorzystuje mean wejściową i variance jako wartości szacunkowe. Celem tej operacji jest zmniejszenie opóźnień w wnioskowaniu, stąd nazwa BatchNormInference .

Dane wyjściowe to n-wymiarowa, znormalizowana tablica o takim samym kształcie jak operand wejściowy.

Szkolenie BatchNorm

Zobacz także XlaBuilder::BatchNormTraining i the original batch normalization paper aby uzyskać szczegółowy opis algorytmu.

Normalizuje tablicę w wymiarach wsadowych i przestrzennych.

BatchNormTraining(operand, scale, offset, epsilon, feature_index)

Dla każdej cechy w wymiarze cechy ( feature_index jest indeksem wymiaru cechy w operand ), operacja oblicza średnią i wariancję dla wszystkich innych wymiarów i wykorzystuje średnią i wariancję do normalizacji każdego elementu w operand . feature_index musi być poprawnym indeksem dla wymiaru cechy w operand .

Algorytm przebiega następująco dla każdej partii w operand \(x\) , która zawiera m elementów z w i h jako rozmiarem wymiarów przestrzennych (zakładając, że operand jest tablicą 4-wymiarową):

• Oblicza średnią wsadową \(\mu_l\) dla każdej cechy l w wymiarze cechy:\(\mu_l=\frac{1}{mwh}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^w\sum_{k=1}^h x_{ijkl}\)

• Oblicza wariancję partii \(\sigma^2_l\):\(\sigma^2_l=\frac{1}{mwh}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^w\sum_{k=1}^h (x_{ijkl} - \mu_l)^2\)

• Normalizuje, skaluje i przesuwa:\(y_{ijkl}=\frac{\gamma_l(x_{ijkl}-\mu_l)}{\sqrt[2]{\sigma^2_l+\epsilon} }+\beta_l\)

Wartość epsilon, zwykle niewielka liczba, jest dodawana, aby uniknąć błędów dzielenia przez zero.

Typ wyjścia to krotka trzech XlaOp s:

batch_mean i batch_var to momenty obliczane w ramach partii i wymiarów przestrzennych przy użyciu powyższych wzorów.

BitcastConvertType

Zobacz także XlaBuilder::BitcastConvertType .

Podobnie jak tf.bitcast w TensorFlow, wykonuje elementową operację bitcast z kształtu danych do kształtu docelowego. Rozmiar wejścia i wyjścia musi się zgadzać: np. elementy s32 staną się elementami f32 za pomocą procedury bitcast, a jeden element s32 stanie się czterema elementami s8 . Bitcast jest zaimplementowany jako rzutowanie niskiego poziomu, więc maszyny z różnymi reprezentacjami zmiennoprzecinkowymi dadzą różne wyniki.

BitcastConvertType(operand, new_element_type)

Wymiary operandu i kształtu docelowego muszą się zgadzać, z wyjątkiem ostatniego wymiaru, który zmieni się o stosunek wielkości pierwotnej przed i po konwersji.

Typy elementów źródłowych i docelowych nie mogą być krotkami.

Konwersja bitcastów do typów pierwotnych o różnej szerokości

BitcastConvert HLO obsługuje przypadek, gdy rozmiar elementu wyjściowego typu T' nie jest równy rozmiarowi elementu wejściowego T . Ponieważ cała operacja jest koncepcyjnie bitcastem i nie zmienia podstawowych bajtów, kształt elementu wyjściowego musi się zmienić. Dla B = sizeof(T), B' = sizeof(T') istnieją dwa możliwe przypadki.

Po pierwsze, gdy B > B' , kształt wyjściowy otrzymuje nowy wymiar mniejszy o rozmiarze B/B' . Na przykład:

  f16[10,2]{1,0} %output = f16[10,2]{1,0} bitcast-convert(f32[10]{0} %input)

Zasada pozostaje taka sama dla efektywnych skalarów:

  f16[2]{0} %output = f16[2]{0} bitcast-convert(f32[] %input)

Alternatywnie, dla B' > B instrukcja wymaga, aby ostatni wymiar logiczny kształtu wejściowego był równy B'/B i ten wymiar jest usuwany podczas konwersji:

  f32[10]{0} %output = f32[10]{0} bitcast-convert(f16[10,2]{1,0} %input)

Należy zauważyć, że konwersje między różnymi szerokościami bitowymi nie są oparte na elementach.

Audycja

Zobacz także XlaBuilder::Broadcast .

Dodaje wymiary do tablicy przez zduplikowanie danych w tablicy.

Broadcast(operand, broadcast_sizes)

Nowe wymiary są wstawiane z lewej strony, tzn. jeśli broadcast_sizes ma wartości {a0, ..., aN} a kształt operandu ma wymiary {b0, ..., bM} to kształt wyjścia ma wymiary {a0, ..., aN, b0, ..., bM} .

Nowy indeks wymiarów w kopiach operandu, tj

output[i0, ..., iN, j0, ..., jM] = operand[j0, ..., jM]

Na przykład, jeśli operand jest skalar f32 o wartości 2.0f , a broadcast_sizes to {2, 3} , wynikiem będzie tablica o kształcie f32[2, 3] a wszystkie wartości w wyniku będą 2.0f .

BroadcastInDim

Zobacz także XlaBuilder::BroadcastInDim .

Rozszerza rozmiar i rangę tablicy przez zduplikowanie danych w tablicy.

BroadcastInDim(operand, out_dim_size, broadcast_dimensions)

Podobny do Broadcast, ale umożliwia dodawanie wymiarów w dowolnym miejscu i rozszerzanie istniejących wymiarów o rozmiar 1.

operand jest rozgłaszany do kształtu opisanego przez out_dim_size . broadcast_dimensions odwzorowuje wymiary operand na wymiary docelowego kształtu, tj. i-ty wymiar operandu jest odwzorowywany na broadcast_dimension[i]-ty wymiar wyjściowego kształtu. Wymiary operand muszą mieć rozmiar 1 lub być tego samego rozmiaru co wymiar w wyjściowym kształcie, na który są mapowane. Pozostałe wymiary są wypełniane wymiarami o rozmiarze 1. Rozgłaszanie w zdegenerowanym wymiarze następnie rozgłasza wzdłuż tych zdegenerowanych wymiarów, aby osiągnąć wyjściowy kształt. Semantyka jest szczegółowo opisana na stronie nadawania .

Dzwonić

Zobacz także XlaBuilder::Call .

Wywołuje obliczenie z podanymi argumentami.

Call(computation, args...)

Argumenty i typy args muszą być zgodne z parametrami computation . Dozwolone jest brak args .

Choleski

Zobacz także XlaBuilder::Cholesky .

Oblicza rozkład Cholesky'ego partii symetrycznych (hermitowskich) dodatnio określonych macierzy.

Cholesky(a, lower)

Jeśli wartość true jest lower , oblicza dolne trójkątne macierze l takie, że \( a = l . l^T \). Jeśli lower ma wartość false , oblicza macierze górnego trójkąta u takie, że \( a = u^T . u \).

Dane wejściowe są odczytywane tylko z dolnego/górnego trójkąta a , w zależności od wartości lower . Wartości z drugiego trójkąta są ignorowane. Dane wyjściowe są zwracane w tym samym trójkącie; wartości w drugim trójkącie są zdefiniowane w implementacji i mogą być dowolne.

Jeśli ranga a jest większa niż 2, a jest traktowana jako partia macierzy, w której wszystkie wymiary oprócz drugorzędnych 2 są wymiarami partii.

Jeśli a nie jest symetryczne (hermitowskie) dodatnio określone, wynik jest zdefiniowany przez implementację.

Zacisk

Zobacz także XlaBuilder::Clamp .

Ogranicza operand do zakresu między wartością minimalną a maksymalną.

Clamp(min, operand, max)

Biorąc pod uwagę operand oraz wartości minimalną i maksymalną, zwraca argument, jeśli mieści się on w zakresie między minimum a maksimum, w przeciwnym razie zwraca wartość minimalną, jeśli argument znajduje się poniżej tego zakresu, lub wartość maksymalną, jeśli operand znajduje się powyżej tego zakresu. Oznacza to, że clamp(a, x, b) = min(max(a, x), b) .

Wszystkie trzy tablice muszą mieć ten sam kształt. Alternatywnie, jako ograniczona forma rozgłaszania , min i/lub max może być skalarem typu T

Przykład ze skalarnymi min i max :

let operand: s32[3] = {-1, 5, 9};
let min: s32 = 0;
let max: s32 = 6;
==>
Clamp(min, operand, max) = s32[3]{0, 5, 6};

Upadek

Zobacz także XlaBuilder::Collapse i operację tf.reshape .

Zwija wymiary tablicy do jednego wymiaru.

Collapse(operand, dimensions)

Zwiń zastępuje podany podzbiór wymiarów operandu pojedynczym wymiarem. Argumenty wejściowe to dowolna tablica typu T i stały w czasie kompilacji wektor indeksów wymiarów. Indeksy wymiarów muszą być kolejnym podzbiorem wymiarów T w kolejności (liczby wymiarów od niskich do wysokich). Zatem {0, 1, 2}, {0, 1} lub {1, 2} są poprawnymi zestawami wymiarów, ale {1, 0} lub {0, 2} nie. Są one zastępowane pojedynczym nowym wymiarem, w tej samej pozycji w sekwencji wymiarów, co te, które zastępują, z nowym rozmiarem wymiaru równym iloczynowi oryginalnych rozmiarów wymiarów. Najniższy numer wymiaru w dimensions to najwolniej zmieniający się wymiar (najbardziej główny) w gnieździe pętli, który zwija te wymiary, a najwyższy numer wymiaru to najszybciej zmieniający się (najbardziej drugorzędny). Zobacz operator tf.reshape , jeśli potrzebna jest bardziej ogólna kolejność zwijania.

Na przykład niech v będzie tablicą 24 elementów:

let v = f32[4x2x3] { { {10, 11, 12},  {15, 16, 17} },
{ {20, 21, 22},  {25, 26, 27} },
{ {30, 31, 32},  {35, 36, 37} },
{ {40, 41, 42},  {45, 46, 47} } };

// Collapse to a single dimension, leaving one dimension.
let v012 = Collapse(v, {0,1,2});
then v012 == f32[24] {10, 11, 12, 15, 16, 17,
20, 21, 22, 25, 26, 27,
30, 31, 32, 35, 36, 37,
40, 41, 42, 45, 46, 47};

// Collapse the two lower dimensions, leaving two dimensions.
let v01 = Collapse(v, {0,1});
then v01 == f32[4x6] { {10, 11, 12, 15, 16, 17},
{20, 21, 22, 25, 26, 27},
{30, 31, 32, 35, 36, 37},
{40, 41, 42, 45, 46, 47} };

// Collapse the two higher dimensions, leaving two dimensions.
let v12 = Collapse(v, {1,2});
then v12 == f32[8x3] { {10, 11, 12},
{15, 16, 17},
{20, 21, 22},
{25, 26, 27},
{30, 31, 32},
{35, 36, 37},
{40, 41, 42},
{45, 46, 47} };

ZbiorowyPermut

Zobacz także XlaBuilder::CollectivePermute .

CollectivePermute to operacja zbiorcza, która wysyła i odbiera repliki krzyżowe danych.

CollectivePermute(operand, source_target_pairs)

Zauważ, że istnieją następujące ograniczenia dotyczące source_target_pair :

• Żadne dwie pary nie powinny mieć tego samego identyfikatora repliki docelowej i nie powinny mieć tego samego identyfikatora repliki źródłowej.
• Jeśli identyfikator repliki nie jest celem w żadnej parze, to wyjście na tej replice jest tensorem składającym się z 0 (s) o takim samym kształcie jak dane wejściowe.

Powiązać

Zobacz także XlaBuilder::ConcatInDim .

Concatenate tworzy tablicę z wielu operandów tablicy. Tablica ma taką samą rangę jak każdy z operandów tablicy wejściowej (które muszą mieć taką samą rangę jak każdy inny) i zawiera argumenty w kolejności, w jakiej zostały określone.

Concatenate(operands..., dimension)

Z wyjątkiem dimension wszystkie wymiary muszą być takie same. Dzieje się tak, ponieważ XLA nie obsługuje „poszarpanych” tablic. Należy również zauważyć, że wartości rang-0 nie mogą być łączone (ponieważ nie można nazwać wymiaru, wzdłuż którego występuje konkatenacja).

Przykład 1-wymiarowy:

Concat({ {2, 3}, {4, 5}, {6, 7} }, 0)
>>> {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Przykład 2-wymiarowy:

let a = {
{1, 2},
{3, 4},
{5, 6},
};
let b = {
{7, 8},
};
Concat({a, b}, 0)
>>> {
{1, 2},
{3, 4},
{5, 6},
{7, 8},
}

Diagram:

Warunkowy

Zobacz także XlaBuilder::Conditional .

Conditional(pred, true_operand, true_computation, false_operand, false_computation)

Wykonuje true_computation , jeśli pred ma wartość true , false_computation , jeśli pred ma wartość false i zwraca wynik.

true_computation musi zawierać pojedynczy argument typu \(T_0\) i zostanie wywołany z true_operand , który musi być tego samego typu. false_computation musi przyjąć pojedynczy argument typu \(T_1\) i zostanie wywołane z false_operand , który musi być tego samego typu. Typ zwracanej wartości true_computation i false_computation musi być taki sam.

Zauważ, że tylko jedno z true_computation i false_computation zostanie wykonane w zależności od wartości pred .

Conditional(branch_index, branch_computations, branch_operands)

Wykonuje branch_computations[branch_index] i zwraca wynik. Jeśli branch_index jest S32 , który jest < 0 lub >= N, to branch_computations[N-1] jest wykonywany jako gałąź domyślna.

Każdy branch_computations[b] musi przyjmować jeden argument typu T_b i będzie wywoływany z branch_operands[b] , które muszą być tego samego typu. Typ zwracanej wartości każdego branch_computations[b] musi być taki sam.

Zauważ, że tylko jedno z branch_computations zostanie wykonane w zależności od wartości branch_index .

konw. (splot)

Zobacz także XlaBuilder::Conv .

Jak ConvWithGeneralPadding, ale wypełnienie jest określane w skrócie jako SAME lub VALID. SAME dopełnienie wypełnia wejście ( lhs ) zerami, dzięki czemu wyjście ma taki sam kształt jak wejście, gdy nie bierze się pod uwagę kroczenia. WAŻNE wypełnienie oznacza po prostu brak wypełnienia.

ConvWithGeneralPadding (splot)

Zobacz także XlaBuilder::ConvWithGeneralPadding .

Oblicza splot, jakiego używa się w sieciach neuronowych. Tutaj splot można traktować jako n-wymiarowe okno poruszające się po n-wymiarowym obszarze bazowym, a obliczenia są wykonywane dla każdej możliwej pozycji okna.

Niech n będzie liczbą wymiarów przestrzennych. Argument lhs jest tablicą rangi n+2 opisującą obszar bazowy. Nazywa się to wejściem, chociaż oczywiście rhs jest również wejściem. W sieci neuronowej są to aktywacje wejściowe. Wymiary n+2 to w tej kolejności:

• batch : Każda współrzędna w tym wymiarze reprezentuje niezależne wejście, dla którego wykonywany jest splot.
• z/depth/features : Każda pozycja (y,x) w obszarze bazowym ma skojarzony z nią wektor, który wchodzi w ten wymiar.
• spatial_dims : opisuje n wymiarów przestrzennych definiujących obszar bazowy, po którym porusza się okno.

Argument rhs jest tablicą rangi n+2 opisującą splotowy filtr/jądro/okno. Wymiary to w tej kolejności:

• output-z : Wymiar z wyjścia.
• input-z : rozmiar tego wymiaru pomnożony przez feature_group_count powinien być równy rozmiarowi wymiaru z w lhs.
• spatial_dims : opisuje n wymiarów przestrzennych, które definiują drugie okno poruszające się po obszarze podstawowym.

Argument window_strides określa krok okna splotowego w wymiarach przestrzennych. Na przykład, jeśli krok w pierwszym wymiarze przestrzennym wynosi 3, okno można umieścić tylko na współrzędnych, w których pierwszy indeks przestrzenny jest podzielny przez 3.

Argument padding określa wielkość dopełnienia zerami, które ma zostać zastosowane do obszaru podstawowego. Wielkość dopełnienia może być ujemna — wartość bezwzględna ujemnego dopełnienia wskazuje liczbę elementów do usunięcia z określonego wymiaru przed wykonaniem splotu. padding[0] określa wypełnienie dla wymiaru y , a padding[1] określa wypełnienie dla wymiaru x . Każda para ma dolną wyściółkę jako pierwszy element i wysoką wyściółkę jako drugi element. Niskie dopełnienie jest stosowane w kierunku niższych indeksów, podczas gdy wysokie dopełnienie jest stosowane w kierunku wyższych indeksów. Na przykład, jeśli padding[1] wynosi (2,3) , to w drugim wymiarze przestrzennym będzie dopełnienie 2 zerami po lewej i 3 zerami po prawej stronie. Użycie dopełnienia jest równoznaczne z wstawieniem tych samych wartości zerowych do wejścia ( lhs ) przed wykonaniem splotu.

Argumenty lhs_dilation i rhs_dilation określają współczynnik dylatacji, który ma być zastosowany odpowiednio do lhs i rhs w każdym wymiarze przestrzennym. Jeśli współczynnik dylatacji w wymiarze przestrzennym wynosi d, to dziury d-1 są niejawnie umieszczane między każdym z wpisów w tym wymiarze, zwiększając rozmiar tablicy. Dziury są wypełnione wartością no-op, która dla splotu oznacza zera.

Rozszerzenie prawego rogu jest również nazywane splotem atrous. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz tf.nn.atrous_conv2d . Dylatacja lhs jest również nazywana splotem transponowanym. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz tf.nn.conv2d_transpose .

Argumentu feature_group_count (wartość domyślna 1) można użyć w przypadku zgrupowanych splotów. feature_group_count musi być dzielnikiem zarówno wejściowego, jak i wyjściowego wymiaru cechy. Jeśli feature_group_count jest większa niż 1, oznacza to, że koncepcyjnie wymiar cech wejściowych i wyjściowych oraz wymiar cech wyjściowych po feature_group_count rhs z których każda składa się z kolejnych podsekwencji cech. Wejściowy wymiar cechy rhs musi być równy wejściowemu wymiarowi cechy lhs podzielonemu przez feature_group_count (więc ma już rozmiar grupy wejściowych cech). I-te grupy są używane razem do obliczania feature_group_count wielu oddzielnych splotów. Wyniki tych splotów są łączone razem w wyjściowym wymiarze cechy.

W przypadku splotu w głąb argument liczba_grup_funkcji zostałby ustawiony na wejściowy wymiar funkcji, a filtr zostałby przekształcony z [filter_height, filter_width, in_channels, channel_multiplier] feature_group_count [filter_height, filter_width, 1, in_channels * channel_multiplier] . Aby uzyskać więcej informacji, zobacz tf.nn.depthwise_conv2d .

Argumentu batch_group_count (wartość domyślna 1) można użyć dla filtrów zgrupowanych podczas propagacji wstecznej. batch_group_count musi być dzielnikiem rozmiaru lhs (wejściowego) wymiaru wsadowego. Jeśli batch_group_count jest większa niż 1, oznacza to, że wyjściowy wymiar wsadowy powinien mieć rozmiar input batch / batch_group_count . batch_group_count musi być dzielnikiem wyjściowego rozmiaru elementu.

Kształt wyjściowy ma następujące wymiary w następującej kolejności:

• batch : rozmiar tego wymiaru razy batch_group_count powinien być równy rozmiarowi wymiaru batch w lhs.
• z : Taki sam rozmiar jak output-z w jądrze ( rhs ).
• spatial_dims : Jedna wartość dla każdego prawidłowego umieszczenia okna splotowego.

Powyższy rysunek pokazuje, jak działa pole batch_group_count . Skutecznie dzielimy każdą partię batch_group_count na grupy liczba_grup_wsadów i robimy to samo dla funkcji wyjściowych. Następnie dla każdej z tych grup wykonujemy sploty parami i łączymy dane wyjściowe wzdłuż wymiaru cechy wyjściowej. Semantyka operacyjna wszystkich pozostałych wymiarów (cechowego i przestrzennego) pozostaje taka sama.

Prawidłowe umiejscowienie okna splotowego jest określane przez kroki i rozmiar obszaru podstawowego po dopełnieniu.

Aby opisać, co robi splot, rozważmy splot 2d i wybierzmy pewne ustalone współrzędne batch , z , y , x na wyjściu. Wówczas (y,x) jest położeniem rogu okna w obszarze bazowym (np. lewy górny róg, w zależności od interpretacji wymiarów przestrzennych). Mamy teraz okno 2d, wzięte z obszaru bazowego, gdzie każdy punkt 2d jest powiązany z wektorem 1d, więc otrzymujemy pudełko 3d. Z jądra splotowego, ponieważ ustaliliśmy współrzędną wyjściową z , mamy również pudełko 3d. Dwa pudełka mają te same wymiary, więc możemy wziąć sumę iloczynów elementarnych między dwoma pudełkami (podobnie jak iloczyn skalarny). To jest wartość wyjściowa.

Zauważ, że jeśli output-z wynosi np. 5, to każda pozycja okna tworzy 5 wartości na wyjściu w wymiarze z wyjścia. Wartości te różnią się tym, która część jądra splotowego jest używana — dla każdej output-z używane jest oddzielne pole 3d wartości. Możesz więc myśleć o tym jako o 5 oddzielnych zwojach z innym filtrem dla każdego z nich.

Oto pseudokod splotu 2d z dopełnieniem i kroczeniem:

for (b, oz, oy, ox) {  // output coordinates
  value = 0;
  for (iz, ky, kx) {  // kernel coordinates and input z
    iy = oy*stride_y + ky - pad_low_y;
    ix = ox*stride_x + kx - pad_low_x;
    if ((iy, ix) inside the base area considered without padding) {
      value += input(b, iz, iy, ix) * kernel(oz, iz, ky, kx);
    }
  }
  output(b, oz, oy, ox) = value;
}

KonwertujTypElementu

Zobacz także XlaBuilder::ConvertElementType .

Podobnie jak element static_cast w języku C++, wykonuje operację konwersji elementu z kształtu danych na kształt docelowy. Wymiary muszą się zgadzać, a konwersja jest oparta na elementach; np. elementy s32 stają się elementami f32 poprzez procedurę konwersji s32 -to- f32 .

ConvertElementType(operand, new_element_type)

Wymiary operandu i kształtu docelowego muszą być zgodne. Typy elementów źródłowych i docelowych nie mogą być krotkami.

Konwersja taka jak T=s32 na U=f32 wykona normalizującą procedurę konwersji liczby całkowitej na liczbę zmiennoprzecinkową, taką jak zaokrąglenie do najbliższej parzystości.

let a: s32[3] = {0, 1, 2};
let b: f32[3] = convert(a, f32);
then b == f32[3]{0.0, 1.0, 2.0}

Suma replik krzyżowych

Wykonuje AllReduce z obliczeniem sumy.

Niestandardowe połączenie

Zobacz także XlaBuilder::CustomCall .

Wywołaj funkcję dostarczoną przez użytkownika w ramach obliczeń.

CustomCall(target_name, args..., shape)

Sygnatura funkcji jest taka sama, niezależnie od liczby argumentów lub typu argumentów:

extern "C" void target_name(void* out, void** in);

Na przykład, jeśli CustomCall jest używany w następujący sposób:

let x = f32[2] {1,2};
let y = f32[2x3] { {10, 20, 30}, {40, 50, 60} };

CustomCall("myfunc", {x, y}, f32[3x3])

Oto przykład implementacji myfunc :

extern "C" void myfunc(void* out, void** in) {
  float (&x)[2] = *static_cast<float(*)[2]>(in[0]);
  float (&y)[2][3] = *static_cast<float(*)[2][3]>(in[1]);
  EXPECT_EQ(1, x[0]);
  EXPECT_EQ(2, x[1]);
  EXPECT_EQ(10, y[0][0]);
  EXPECT_EQ(20, y[0][1]);
  EXPECT_EQ(30, y[0][2]);
  EXPECT_EQ(40, y[1][0]);
  EXPECT_EQ(50, y[1][1]);
  EXPECT_EQ(60, y[1][2]);
  float (&z)[3][3] = *static_cast<float(*)[3][3]>(out);
  z[0][0] = x[1] + y[1][0];
  // ...
}

Funkcja dostarczona przez użytkownika nie może mieć skutków ubocznych, a jej wykonanie musi być idempotentne.

Kropka

Zobacz także XlaBuilder::Dot .

Dot(lhs, rhs)

Dokładna semantyka tej operacji zależy od rang operandów:

Operacja wykonuje sumę iloczynów po drugim wymiarze lhs (lub pierwszym jeśli ma rangę 1) i pierwszym wymiarze rhs . Są to wymiary „kontraktowane”. lhs wymiary lewej i rhs strony muszą być tego samego rozmiaru. W praktyce można go wykorzystać do wykonywania iloczynów skalarnych między wektorami, mnożenia wektor/macierz lub mnożenia macierz/macierz.

kropkaOgólne

Zobacz także XlaBuilder::DotGeneral .

DotGeneral(lhs, rhs, dimension_numbers)

Jak kropka, ale umożliwia określenie numerów kontraktowych i wymiarów partii zarówno dla „lewej” jak i „prawej”.

DotGeneral wykonuje sumę produktów w wymiarach umownych określonych w 'dimension_numbers'.

Powiązane numery wymiarów umownych z „lewej” i „prawej” nie muszą być takie same, ale muszą mieć takie same rozmiary.

Przykład z numerami wymiarów umownych:

lhs = { {1.0, 2.0, 3.0},
{4.0, 5.0, 6.0} }

rhs = { {1.0, 1.0, 1.0},
{2.0, 2.0, 2.0} }

DotDimensionNumbers dnums;
dnums.add_lhs_contracting_dimensions(1);
dnums.add_rhs_contracting_dimensions(1);

DotGeneral(lhs, rhs, dnums) -> { {6.0, 12.0},
{15.0, 30.0} }

Powiązane numery wymiarów partii z „lewej” i „prawej” muszą mieć te same rozmiary.

Przykład z numerami wymiarów partii (wielkość partii 2, macierze 2x2):

lhs = { { {1.0, 2.0},
{3.0, 4.0} },
{ {5.0, 6.0},
{7.0, 8.0} } }

rhs = { { {1.0, 0.0},
{0.0, 1.0} },
{ {1.0, 0.0},
{0.0, 1.0} } }

DotDimensionNumbers dnums;
dnums.add_lhs_contracting_dimensions(2);
dnums.add_rhs_contracting_dimensions(1);
dnums.add_lhs_batch_dimensions(0);
dnums.add_rhs_batch_dimensions(0);

DotGeneral(lhs, rhs, dnums) -> { { {1.0, 2.0},
{3.0, 4.0} },
{ {5.0, 6.0},
{7.0, 8.0} } }

Wynika z tego, że wynikowy numer wymiaru zaczyna się od wymiaru partii, następnie wymiaru niekontraktującego/niepartyjnego „lewa strona”, a na końcu wymiaru niekontraktującego/niepartyjnego „prawa oś”.

Dynamiczny plasterek

Zobacz także XlaBuilder::DynamicSlice .

DynamicSlice wyodrębnia pod-tablicę z tablicy wejściowej w dynamice start_indices . Rozmiar wycinka w każdym wymiarze jest przekazywany w size_indices , które określają punkt końcowy wyłącznych przedziałów wycinka w każdym wymiarze: [start, start + size). Kształt start_indices musi mieć rangę == 1, a rozmiar wymiaru musi być równy randze operand .

DynamicSlice(operand, start_indices, size_indices)

The effective slice indices are computed by applying the following transformation for each index i in [1, N) before performing the slice:

start_indices[i] = clamp(start_indices[i], 0, operand.dimension_size[i] - size_indices[i])

This ensures that the extracted slice is always in-bounds with respect to the operand array. If the slice is in-bounds before the transformation is applied, the transformation has no effect.

1-dimensional example:

let a = {0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0}
let s = {2}

DynamicSlice(a, s, {2}) produces:
{2.0, 3.0}

2-dimensional example:

let b =
{ {0.0,  1.0,  2.0},
{3.0,  4.0,  5.0},
{6.0,  7.0,  8.0},
{9.0, 10.0, 11.0} }
let s = {2, 1}

DynamicSlice(b, s, {2, 2}) produces:
{ { 7.0,  8.0},
{10.0, 11.0} }

DynamicUpdateSlice

See also XlaBuilder::DynamicUpdateSlice .

DynamicUpdateSlice generates a result which is the value of the input array operand , with a slice update overwritten at start_indices . The shape of update determines the shape of the sub-array of the result which is updated. The shape of start_indices must be rank == 1, with dimension size equal to the rank of operand .

DynamicUpdateSlice(operand, update, start_indices)

The effective slice indices are computed by applying the following transformation for each index i in [1, N) before performing the slice:

start_indices[i] = clamp(start_indices[i], 0, operand.dimension_size[i] - update.dimension_size[i])

This ensures that the updated slice is always in-bounds with respect to the operand array. If the slice is in-bounds before the transformation is applied, the transformation has no effect.

1-dimensional example:

let a = {0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0}
let u = {5.0, 6.0}
let s = {2}

DynamicUpdateSlice(a, u, s) produces:
{0.0, 1.0, 5.0, 6.0, 4.0}

2-dimensional example:

let b =
{ {0.0,  1.0,  2.0},
{3.0,  4.0,  5.0},
{6.0,  7.0,  8.0},
{9.0, 10.0, 11.0} }
let u =
{ {12.0,  13.0},
{14.0,  15.0},
{16.0,  17.0} }

let s = {1, 1}

DynamicUpdateSlice(b, u, s) produces:
{ {0.0,  1.0,  2.0},
{3.0, 12.0, 13.0},
{6.0, 14.0, 15.0},
{9.0, 16.0, 17.0} }

Element-wise binary arithmetic operations

See also XlaBuilder::Add .

A set of element-wise binary arithmetic operations is supported.

Op(lhs, rhs)

Where Op is one of Add (addition), Sub (subtraction), Mul (multiplication), Div (division), Rem (remainder), Max (maximum), Min (minimum), LogicalAnd (logical AND), or LogicalOr (logical OR).

The arguments' shapes have to be either similar or compatible. See the broadcasting documentation about what it means for shapes to be compatible. The result of an operation has a shape which is the result of broadcasting the two input arrays. In this variant, operations between arrays of different ranks are not supported, unless one of the operands is a scalar.

When Op is Rem , the sign of the result is taken from the dividend, and the absolute value of the result is always less than the divisor's absolute value.

Integer division overflow (signed/unsigned division/remainder by zero or signed division/remainder of INT_SMIN with -1 ) produces an implementation defined value.

An alternative variant with different-rank broadcasting support exists for these operations:

Op(lhs, rhs, broadcast_dimensions)

Where Op is the same as above. This variant of the operation should be used for arithmetic operations between arrays of different ranks (such as adding a matrix to a vector).

The additional broadcast_dimensions operand is a slice of integers used to expand the rank of the lower-rank operand up to the rank of the higher-rank operand. broadcast_dimensions maps the dimensions of the lower-rank shape to the dimensions of the higher-rank shape. The unmapped dimensions of the expanded shape are filled with dimensions of size one. Degenerate-dimension broadcasting then broadcasts the shapes along these degenerate dimensions to equalize the shapes of both operands. The semantics are described in detail on the broadcasting page .

Element-wise comparison operations

See also XlaBuilder::Eq .

A set of standard element-wise binary comparison operations is supported. Note that standard IEEE 754 floating-point comparison semantics apply when comparing floating-point types.

Op(lhs, rhs)

Where Op is one of Eq (equal-to), Ne (not equal-to), Ge (greater-or-equal-than), Gt (greater-than), Le (less-or-equal-than), Lt (less-than). Another set of operators, EqTotalOrder, NeTotalOrder, GeTotalOrder, GtTotalOrder, LeTotalOrder, and LtTotalOrder, provide the same functionalities, except that they additionally support a total order over the floating point numbers, by enforcing -NaN < -Inf < -Finite < -0 < +0 < +Finite < +Inf < +NaN.

The arguments' shapes have to be either similar or compatible. See the broadcasting documentation about what it means for shapes to be compatible. The result of an operation has a shape which is the result of broadcasting the two input arrays with the element type PRED . In this variant, operations between arrays of different ranks are not supported, unless one of the operands is a scalar.

An alternative variant with different-rank broadcasting support exists for these operations:

Op(lhs, rhs, broadcast_dimensions)

Where Op is the same as above. This variant of the operation should be used for comparison operations between arrays of different ranks (such as adding a matrix to a vector).

The additional broadcast_dimensions operand is a slice of integers specifying the dimensions to use for broadcasting the operands. The semantics are described in detail on the broadcasting page .

Element-wise unary functions

XlaBuilder supports these element-wise unary functions:

Abs(operand) Element-wise abs x -> |x| .

Ceil(operand) Element-wise ceil x -> ⌈x⌉ .

Cos(operand) Element-wise cosine x -> cos(x) .

Exp(operand) Element-wise natural exponential x -> e^x .

Floor(operand) Element-wise floor x -> ⌊x⌋ .

Imag(operand) Element-wise imaginary part of a complex (or real) shape. x -> imag(x) . If the operand is a floating point type, returns 0.

IsFinite(operand) Tests whether each element of operand is finite, ie, is not positive or negative infinity, and is not NaN . Returns an array of PRED values with the same shape as the input, where each element is true if and only if the corresponding input element is finite.

Log(operand) Element-wise natural logarithm x -> ln(x) .

LogicalNot(operand) Element-wise logical not x -> !(x) .

Logistic(operand) Element-wise logistic function computation x -> logistic(x) .

PopulationCount(operand) Computes the number of bits set in each element of operand .

Neg(operand) Element-wise negation x -> -x .

Real(operand) Element-wise real part of a complex (or real) shape. x -> real(x) . If the operand is a floating point type, returns the same value.

Rsqrt(operand) Element-wise reciprocal of square root operation x -> 1.0 / sqrt(x) .

Sign(operand) Element-wise sign operation x -> sgn(x) where

\[\text{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & x < 0\\ -0 & x = -0\\ NaN & x = NaN\\ +0 & x = +0\\ 1 & x > 0 \end{cases}\]

using the comparison operator of the element type of operand .

Sqrt(operand) Element-wise square root operation x -> sqrt(x) .

Cbrt(operand) Element-wise cubic root operation x -> cbrt(x) .

Tan(operand) Element-wise tangent x -> tan(x) .

Tanh(operand) Element-wise hyperbolic tangent x -> tanh(x) .

Round(operand) Element-wise rounding, ties away from zero.

RoundNearestEven(operand) Element-wise rounding, ties to nearest even.

The function is applied to each element in the operand array, resulting in an array with the same shape. It is allowed for operand to be a scalar (rank 0).

Fft

The XLA FFT operation implements the forward and inverse Fourier Transforms for real and complex inputs/outputs. Multidimensional FFTs on up to 3 axes are supported.

See also XlaBuilder::Fft .

Multidimensional FFT

When more than 1 fft_length is provided, this is equivalent to applying a cascade of FFT operations to each of the innermost axes. Note that for the real->complex and complex->real cases, the innermost axis transform is (effectively) performed first (RFFT; last for IRFFT), which is why the innermost axis is the one which changes size. Other axis transforms will then be complex->complex.

Implementation details

CPU FFT is backed by Eigen's TensorFFT. GPU FFT uses cuFFT.

Gather

The XLA gather operation stitches together several slices (each slice at a potentially different runtime offset) of an input array.

General Semantics

See also XlaBuilder::Gather . For a more intuitive description, see the "Informal Description" section below.

gather(operand, start_indices, offset_dims, collapsed_slice_dims, slice_sizes, start_index_map)

For convenience, we label dimensions in the output array not in offset_dims as batch_dims .

The output is an array of rank batch_dims.size + offset_dims.size .

The operand.rank must equal the sum of offset_dims.size and collapsed_slice_dims.size . Also, slice_sizes.size has to be equal to operand.rank .

If index_vector_dim is equal to start_indices.rank we implicitly consider start_indices to have a trailing 1 dimension (ie if start_indices was of shape [6,7] and index_vector_dim is 2 then we implicitly consider the shape of start_indices to be [6,7,1] ).

The bounds for the output array along dimension i is computed as follows:

1. If i is present in batch_dims (ie is equal to batch_dims[k] for some k ) then we pick the corresponding dimension bounds out of start_indices.shape , skipping index_vector_dim (ie pick start_indices.shape.dims [ k ] if k < index_vector_dim and start_indices.shape.dims [ k + 1 ] otherwise).

2. If i is present in offset_dims (ie equal to offset_dims [ k ] for some k ) then we pick the corresponding bound out of slice_sizes after accounting for collapsed_slice_dims (ie we pick adjusted_slice_sizes [ k ] where adjusted_slice_sizes is slice_sizes with the bounds at indices collapsed_slice_dims removed).

Formally, the operand index In corresponding to a given output index Out is calculated as follows:

1. Let G = { Out [ k ] for k in batch_dims }. Use G to slice out a vector S such that S [ i ] = start_indices [Combine( G , i )] where Combine(A, b) inserts b at position index_vector_dim into A. Note that this is well defined even if G is empty -- if G is empty then S = start_indices .

2. Create a starting index, S in , into operand using S by scattering S using start_index_map . More precisely:

   1. S in [ start_index_map [ k ]] = S [ k ] if k < start_index_map.size .

   2. S in [ _ ] = 0 otherwise.

3. Create an index O in into operand by scattering the indices at the offset dimensions in Out according to the collapsed_slice_dims set. More precisely:

   1. O in [ remapped_offset_dims ( k )] = Out [ offset_dims [ k ]] if k < offset_dims.size ( remapped_offset_dims is defined below).

   2. O in [ _ ] = 0 otherwise.

4. In is O in + S in where + is element-wise addition.

remapped_offset_dims is a monotonic function with domain [ 0 , offset_dims.size ) and range [ 0 , operand.rank ) \ collapsed_slice_dims . So if, eg, offset_dims.size is 4 , operand.rank is 6 and collapsed_slice_dims is { 0 , 2 } then remapped_offset_dims is { 0 → 1 , 1 → 3 , 2 → 4 , 3 → 5 }.

If indices_are_sorted is set to true then XLA can assume that start_indices are sorted (in ascending start_index_map order) by the user. If they are not then the semantics is implementation defined.

If unique_indices is set to true then XLA can assume that all element scattered to are unique. So XLA could use non-atomic operations. If unique_indices is set to true and the indices being scattered to are not unique then the semantics is implementation defined.

Informal Description and Examples

Informally, every index Out in the output array corresponds to an element E in the operand array, computed as follows:

• We use the batch dimensions in Out to look up a starting index from start_indices .

• We use start_index_map to map the starting index (whose size may be less than operand.rank) to a "full" starting index into the operand .

• We dynamic-slice out a slice with size slice_sizes using the full starting index.

• We reshape the slice by collapsing the collapsed_slice_dims dimensions. Since all collapsed slice dimensions must have a bound of 1, this reshape is always legal.

• We use the offset dimensions in Out to index into this slice to get the input element, E , corresponding to output index Out .

index_vector_dim is set to start_indices.rank - 1 in all of the examples that follow. More interesting values for index_vector_dim do not change the operation fundamentally, but make the visual representation more cumbersome.

To get an intuition on how all of the above fits together, let's look at an example that gathers 5 slices of shape [8,6] from a [16,11] array. The position of a slice into the [16,11] array can be represented as an index vector of shape S64[2] , so the set of 5 positions can be represented as a S64[5,2] array.

The behavior of the gather operation can then be depicted as an index transformation that takes [ G , O 0 , O 1 ], an index in the output shape, and maps it to an element in the input array in the following way:

We first select an ( X , Y ) vector from the gather indices array using G . The element in the output array at index [ G , O 0 , O 1 ] is then the element in the input array at index [ X + O 0 , Y + O 1 ].

slice_sizes is [8,6] , which decides the range of O ₀ and O ₁ , and this in turn decides the bounds of the slice.

This gather operation acts as a batch dynamic slice with G as the batch dimension.

The gather indices may be multidimensional. For instance, a more general version of the example above using a "gather indices" array of shape [4,5,2] would translate indices like this:

Again, this acts as a batch dynamic slice G 0 and G 1 as the batch dimensions. The slice size is still [8,6] .

The gather operation in XLA generalizes the informal semantics outlined above in the following ways:

1. We can configure which dimensions in the output shape are the offset dimensions (dimensions containing O 0 , O 1 in the last example). The output batch dimensions (dimensions containing G 0 , G 1 in the last example) are defined to be the output dimensions that are not offset dimensions.

2. The number of output offset dimensions explicitly present in the output shape may be smaller than the input rank. These "missing" dimensions, which are listed explicitly as collapsed_slice_dims , must have a slice size of 1 . Since they have a slice size of 1 the only valid index for them is 0 and eliding them does not introduce ambiguity.

3. The slice extracted from the "Gather Indices" array (( X , Y ) in the last example) may have fewer elements than the input array rank, and an explicit mapping dictates how the index should be expanded to have the same rank as the input.

As a final example, we use (2) and (3) to implement tf.gather_nd :

G 0 and G 1 are used to slice out a starting index from the gather indices array as usual, except the starting index has only one element, X . Similarly, there is only one output offset index with the value O 0 . However, before being used as indices into the input array, these are expanded in accordance to "Gather Index Mapping" ( start_index_map in the formal description) and "Offset Mapping" ( remapped_offset_dims in the formal description) into [ X , 0 ] and [ 0 , O 0 ] respectively, adding up to [ X , O 0 ]. In other words, the output index [ G 0 , G 1 , O 0 ] maps to the input index [ GatherIndices [ G 0 , G 1 , 0 ], O 0 ] which gives us the semantics for tf.gather_nd .

slice_sizes for this case is [1,11] . Intuitively this means that every index X in the gather indices array picks an entire row and the result is the concatenation of all these rows.

GetDimensionSize

See also XlaBuilder::GetDimensionSize .

Returns the size of the given dimension of the operand. The operand must be array shaped.

GetDimensionSize(operand, dimension)

SetDimensionSize

See also XlaBuilder::SetDimensionSize .

Sets the dynamic size of XlaOp's given dimension. The operand must be array shaped.

SetDimensionSize(operand, size, dimension)

Pass through the operand as result, with dynamic dimension tracked by the compiler.

Padded values will be ignored by downstream reduction ops.

let v: f32[10] = f32[10]{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
let five: s32 = 5;
let six: s32 = 6;

// Setting dynamic dimension size doesn't change the upper bound of the static
// shape.
let padded_v_five: f32[10] = set_dimension_size(v, five, /*dimension=*/0);
let padded_v_six: f32[10] = set_dimension_size(v, six, /*dimension=*/0);

// sum == 1 + 2 + 3 + 4 + 5
let sum:f32[] = reduce_sum(padded_v_five);
// product == 1 * 2 * 3 * 4 * 5
let product:f32[] = reduce_product(padded_v_five);

// Changing padding size will yield different result.
// sum == 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
let sum:f32[] = reduce_sum(padded_v_six);

GetTupleElement

See also XlaBuilder::GetTupleElement .

Indexes into a tuple with a compile-time-constant value.

The value must be a compile-time-constant so that shape inference can determine the type of the resulting value.

This is analogous to std::get<int N>(t) in C++. Conceptually:

let v: f32[10] = f32[10]{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
let s: s32 = 5;
let t: (f32[10], s32) = tuple(v, s);
let element_1: s32 = gettupleelement(t, 1);  // Inferred shape matches s32.

See also tf.tuple .

Infeed

See also XlaBuilder::Infeed .

Infeed(shape)

Reads a single data item from the implicit Infeed streaming interface of the device, interpreting the data as the given shape and its layout, and returns a XlaOp of the data. Multiple Infeed operations are allowed in a computation, but there must be a total order among the Infeed operations. For example, two Infeeds in the code below have a total order since there is a dependency between the while loops.

result1 = while (condition, init = init_value) {
  Infeed(shape)
}

result2 = while (condition, init = result1) {
  Infeed(shape)
}

Nested tuple shapes are not supported. For an empty tuple shape, the Infeed operation is effectively a no-op and proceeds without reading any data from the Infeed of the device.

Iota

See also XlaBuilder::Iota .

Iota(shape, iota_dimension)

Builds a constant literal on device rather than a potentially large host transfer. Creates an array that has specified shape and holds values starting at zero and incrementing by one along the specified dimension. For floating-point types, the produced array is equivalent to ConvertElementType(Iota(...)) where the Iota is of integral type and the conversion is to the floating-point type.

For example, Iota(s32[4, 8], 0) returns

  [[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
   [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
   [2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 ],
   [3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ]]

Iota(s32[4, 8], 1) returns

  [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ],
   [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ],
   [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ],
   [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ]]

Map

See also XlaBuilder::Map .

Map(operands..., computation)

Applies a scalar function over the given operands arrays, producing an array of the same dimensions where each element is the result of the mapped function applied to the corresponding elements in the input arrays.

The mapped function is an arbitrary computation with the restriction that it has N inputs of scalar type T and a single output with type S . The output has the same dimensions as the operands except that the element type T is replaced with S.

For example: Map(op1, op2, op3, computation, par1) maps elem_out <- computation(elem1, elem2, elem3, par1) at each (multi-dimensional) index in the input arrays to produce the output array.

OptimizationBarrier

Blocks any optimization pass from moving computations across the barrier.

Ensures that all inputs are evaluated before any operators that depend on the barrier's outputs.

Pad

See also XlaBuilder::Pad .

Pad(operand, padding_value, padding_config)

Expands the given operand array by padding around the array as well as between the elements of the array with the given padding_value . padding_config specifies the amount of edge padding and the interior padding for each dimension.

PaddingConfig is a repeated field of PaddingConfigDimension , which contains three fields for each dimension: edge_padding_low , edge_padding_high , and interior_padding .

edge_padding_low and edge_padding_high specify the amount of padding added at the low-end (next to index 0) and the high-end (next to the highest index) of each dimension respectively. The amount of edge padding can be negative -- the absolute value of negative padding indicates the number of elements to remove from the specified dimension.

interior_padding specifies the amount of padding added between any two elements in each dimension; it may not be negative. Interior padding occurs logically before edge padding, so in the case of negative edge padding, elements are removed from the interior-padded operand.

This operation is a no-op if the edge padding pairs are all (0, 0) and the interior padding values are all 0. The figure below shows examples of different edge_padding and interior_padding values for a two-dimensional array.

Recv

See also XlaBuilder::Recv .

Recv(shape, channel_handle)

Receives data of the given shape from a Send instruction in another computation that shares the same channel handle. Returns a XlaOp for the received data.

The client API of Recv operation represents synchronous communication. However, the instruction is internally decomposed into 2 HLO instructions ( Recv and RecvDone ) to enable asynchronous data transfers. See also HloInstruction::CreateRecv and HloInstruction::CreateRecvDone .

Recv(const Shape& shape, int64 channel_id)

Allocates resources required to receive data from a Send instruction with the same channel_id. Returns a context for the allocated resources, which is used by a following RecvDone instruction to wait for the completion of the data transfer. The context is a tuple of {receive buffer (shape), request identifier (U32)} and it can only be used by a RecvDone instruction.

RecvDone(HloInstruction context)

Given a context created by a Recv instruction, waits for the data transfer to complete and returns the received data.

Reduce

See also XlaBuilder::Reduce .

Applies a reduction function to one or more arrays in parallel.

Reduce(operands..., init_values..., computation, dimensions)

Where:

• N is required to be greater or equal to 1.
• The computation has to be "roughly" associative (see below).
• All input arrays must have the same dimensions.
• All initial values have to form an identity under computation .
• If N = 1 , Collate(T) is T .
• If N > 1 , Collate(T_0, ..., T_{N-1}) is a tuple of N elements of type T .

This operation reduces one or more dimensions of each input array into scalars. The rank of each returned array is rank(operand) - len(dimensions) . The output of the op is Collate(Q_0, ..., Q_N) where Q_i is an array of type T_i , the dimensions of which are described below.

Different backends are allowed to reassociate the reduction computation. This can lead to numerical differences, as some reduction functions like addition are not associative for floats. However, if the range of the data is limited, floating-point addition is close enough to being associative for most practical uses.

Examples

When reducing across one dimension in a single 1D array with values [10, 11, 12, 13] , with reduction function f (this is computation ) then that could be computed as

f(10, f(11, f(12, f(init_value, 13)))

but there are also many other possibilities, eg

f(init_value, f(f(10, f(init_value, 11)), f(f(init_value, 12), f(init_value, 13))))

The following is a rough pseudo-code example of how reduction could be implemented, using summation as the reduction computation with an initial value of 0.

result_shape <- remove all dims in dimensions from operand_shape

# Iterate over all elements in result_shape. The number of r's here is equal
# to the rank of the result
for r0 in range(result_shape[0]), r1 in range(result_shape[1]), ...:
  # Initialize this result element
  result[r0, r1...] <- 0

  # Iterate over all the reduction dimensions
  for d0 in range(dimensions[0]), d1 in range(dimensions[1]), ...:
    # Increment the result element with the value of the operand's element.
    # The index of the operand's element is constructed from all ri's and di's
    # in the right order (by construction ri's and di's together index over the
    # whole operand shape).
    result[r0, r1...] += operand[ri... di]

Here's an example of reducing a 2D array (matrix). The shape has rank 2, dimension 0 of size 2 and dimension 1 of size 3:

Results of reducing dimensions 0 or 1 with an "add" function:

Note that both reduction results are 1D arrays. The diagram shows one as column and another as row just for visual convenience.

For a more complex example, here is a 3D array. Its rank is 3, dimension 0 of size 4, dimension 1 of size 2 and dimension 2 of size 3. For simplicity, the values 1 to 6 are replicated across dimension 0.

Similarly to the 2D example, we can reduce just one dimension. If we reduce dimension 0, for example, we get a rank-2 array where all values across dimension 0 were folded into a scalar:

|  4   8  12 |
| 16  20  24 |

If we reduce dimension 2, we also get a rank-2 array where all values across dimension 2 were folded into a scalar:

| 6  15 |
| 6  15 |
| 6  15 |
| 6  15 |

Note that the relative order between the remaining dimensions in the input is preserved in the output, but some dimensions may get assigned new numbers (since the rank changes).

We can also reduce multiple dimensions. Add-reducing dimensions 0 and 1 produces the 1D array [20, 28, 36] .

Reducing the 3D array over all its dimensions produces the scalar 84 .

Variadic Reduce

When N > 1 , reduce function application is slightly more complex, as it is applied simultaneously to all inputs. The operands are supplied to the computation in the following order:

• Running reduced value for the first operand
• ...
• Running reduced value for the N'th operand
• Input value for the first operand
• ...
• Input value for the N'th operand

For example, consider the following reduction function, which can be used to compute the max and the argmax of a 1-D array in parallel:

f: (Float, Int, Float, Int) -> Float, Int
f(max, argmax, value, index):
  if value >= max:
    return (value, index)
  else:
    return (max, argmax)

For 1-D Input arrays V = Float[N], K = Int[N] , and init values I_V = Float, I_K = Int , the result f_(N-1) of reducing across the only input dimension is equivalent to the following recursive application:

f_0 = f(I_V, I_K, V_0, K_0)
f_1 = f(f_0.first, f_0.second, V_1, K_1)
...
f_(N-1) = f(f_(N-2).first, f_(N-2).second, V_(N-1), K_(N-1))

Applying this reduction to an array of values, and an array of sequential indices (ie iota), will co-iterate over the arrays, and return a tuple containing the maximal value and the matching index.

ReducePrecision

See also XlaBuilder::ReducePrecision .

Models the effect of converting floating-point values to a lower-precision format (such as IEEE-FP16) and back to the original format. The number of exponent and mantissa bits in the lower-precision format can be specified arbitrarily, although all bit sizes may not be supported on all hardware implementations.

ReducePrecision(operand, mantissa_bits, exponent_bits)

The result is an array of type T . The input values are rounded to the nearest value representable with the given number of mantissa bits (using "ties to even" semantics), and any values that exceed the range specified by the number of exponent bits are clamped to positive or negative infinity. NaN values are retained, although they may be converted to canonical NaN values.

The lower-precision format must have at least one exponent bit (in order to distinguish a zero value from an infinity, since both have a zero mantissa), and must have a non-negative number of mantissa bits. The number of exponent or mantissa bits may exceed the corresponding value for type T ; the corresponding portion of the conversion is then simply a no-op.

ReduceScatter

See also XlaBuilder::ReduceScatter .

ReduceScatter is a collective operation that effectively does an AllReduce and then scatters the result by splitting it into shard_count blocks along the scatter_dimension and replica i in the replica group receives the ith shard.

ReduceScatter(operand, computation, scatter_dim, shard_count, replica_group_ids, channel_id)

• When operand is a tuple of arrays, the reduce-scatter is performed on each element of the tuple.
• replica_groups is a list of replica groups between which the reduction is performed (replica id for the current replica can be retrieved using ReplicaId ). The order of replicas in each group determines the order in which the all-reduce result will be scattered. replica_groups must either be empty (in which case all replicas belong to a single group), or contain the same number of elements as the number of replicas. When there are more than one replica groups, they all must be of the same size. For example, replica_groups = {0, 2}, {1, 3} performs reduction between the replicas 0 and 2 , and 1 and 3 and then scatters the result.
• shard_count is the size of each replica group. We need this in cases where replica_groups are empty. If replica_groups is not empty, shard_count must be equal to the size of each replica group.
• channel_id is used for cross-module communication: only reduce-scatter operations with the same channel_id can communicate with each other.

The output shape is the input shape with the scatter_dimension made shard_count times smaller. For example, if there are two replicas and the operand has the value [1.0, 2.25] and [3.0, 5.25] respectively on the two replicas, then the output value from this op where scatter_dim is 0 will be [4.0] for the first replica and [7.5] for the second replica.

ReduceWindow

See also XlaBuilder::ReduceWindow .

Applies a reduction function to all elements in each window of a sequence of N multi-dimensional arrays, producing a single or a tuple of N multi-dimensional arrays as output. Each output array has the same number of elements as the number of valid positions of the window. A pooling layer can be expressed as a ReduceWindow . Similar to Reduce , the applied computation is always passed the init_values on the left-hand side.

ReduceWindow(operands..., init_values..., computation, window_dimensions, window_strides, padding)

Where:

• N is required to be greater or equal to 1.
• All input arrays must have the same dimensions.
• If N = 1 , Collate(T) is T .
• If N > 1 , Collate(T_0, ..., T_{N-1}) is a tuple of N elements of type (T0,...T{N-1}) .

Below code and figure shows an example of using ReduceWindow . Input is a matrix of size [4x6] and both window_dimensions and window_stride_dimensions are [2x3].

// Create a computation for the reduction (maximum).
XlaComputation max;
{
  XlaBuilder builder(client_, "max");
  auto y = builder.Parameter(0, ShapeUtil::MakeShape(F32, {}), "y");
  auto x = builder.Parameter(1, ShapeUtil::MakeShape(F32, {}), "x");
  builder.Max(y, x);
  max = builder.Build().value();
}

// Create a ReduceWindow computation with the max reduction computation.
XlaBuilder builder(client_, "reduce_window_2x3");
auto shape = ShapeUtil::MakeShape(F32, {4, 6});
auto input = builder.Parameter(0, shape, "input");
builder.ReduceWindow(
    input,
    /*init_val=*/builder.ConstantLiteral(LiteralUtil::MinValue(F32)),
    *max,
    /*window_dimensions=*/{2, 3},
    /*window_stride_dimensions=*/{2, 3},
    Padding::kValid);

Stride of 1 in a dimension specifies that the position of a window in the dimension is 1 element away from its adjacent window. In order to specify that no windows overlap with each other, window_stride_dimensions should be equal to window_dimensions. The figure below illustrates the use of two different stride values. Padding is applied to each dimension of the input and the calculations are the same as though the input came in with the dimensions it has after padding.

For a non-trivial padding example, consider computing reduce-window minimum (initial value is MAX_FLOAT ) with dimension 3 and stride 2 over the input array [10000, 1000, 100, 10, 1] . Padding kValid computes minimums over two valid windows: [10000, 1000, 100] and [100, 10, 1] , resulting in the output [100, 1] . Padding kSame first pads the array so that the shape after the reduce-window would be the same as input for stride one by adding initial elements on both sides, getting [MAX_VALUE, 10000, 1000, 100, 10, 1, MAX_VALUE] . Running reduce-window over the padded array operates on three windows [MAX_VALUE, 10000, 1000] , [1000, 100, 10] , [10, 1, MAX_VALUE] , and yields [1000, 10, 1] .

The evaluation order of the reduction function is arbitrary and may be non-deterministic. Therefore, the reduction function should not be overly sensitive to reassociation. See the discussion about associativity in the context of Reduce for more details.

ReplicaId

See also XlaBuilder::ReplicaId .

Returns the unique ID (U32 scalar) of the replica.

ReplicaId()

The unique ID of each replica is an unsigned integer in the interval [0, N) , where N is the number of replicas. Since all the replicas are running the same program, a ReplicaId() call in the program will return a different value on each replica.

Reshape

See also XlaBuilder::Reshape and the Collapse operation.

Reshapes the dimensions of an array into a new configuration.

Reshape(operand, new_sizes) Reshape(operand, dimensions, new_sizes)

Conceptually, reshape first flattens an array into a one-dimensional vector of data values, and then refines this vector into a new shape. The input arguments are an arbitrary array of type T, a compile-time-constant vector of dimension indices, and a compile-time-constant vector of dimension sizes for the result. The values in the dimension vector, if given, must be a permutation of all of T's dimensions; the default if not given is {0, ..., rank - 1} . The order of the dimensions in dimensions is from slowest-varying dimension (most major) to fastest-varying dimension (most minor) in the loop nest which collapses the input array into a single dimension. The new_sizes vector determines the size of the output array. The value at index 0 in new_sizes is the size of dimension 0, the value at index 1 is the size of dimension 1, and so on. The product of the new_size dimensions must equal the product of the operand's dimension sizes. When refining the collapsed array into the multidimensional array defined by new_sizes , the dimensions in new_sizes are ordered from slowest varying (most major) and to fastest varying (most minor).

For example, let v be an array of 24 elements:

let v = f32[4x2x3] { { {10, 11, 12}, {15, 16, 17} },
                    { {20, 21, 22}, {25, 26, 27} },
                    { {30, 31, 32}, {35, 36, 37} },
                    { {40, 41, 42}, {45, 46, 47} } };

In-order collapse:
let v012_24 = Reshape(v, {0,1,2}, {24});
then v012_24 == f32[24] {10, 11, 12, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 25, 26, 27,
                         30, 31, 32, 35, 36, 37, 40, 41, 42, 45, 46, 47};

let v012_83 = Reshape(v, {0,1,2}, {8,3});
then v012_83 == f32[8x3] { {10, 11, 12}, {15, 16, 17},
                          {20, 21, 22}, {25, 26, 27},
                          {30, 31, 32}, {35, 36, 37},
                          {40, 41, 42}, {45, 46, 47} };

Out-of-order collapse:
let v021_24 = Reshape(v, {1,2,0}, {24});
then v012_24 == f32[24]  {10, 20, 30, 40, 11, 21, 31, 41, 12, 22, 32, 42,
                          15, 25, 35, 45, 16, 26, 36, 46, 17, 27, 37, 47};

let v021_83 = Reshape(v, {1,2,0}, {8,3});
then v021_83 == f32[8x3] { {10, 20, 30}, {40, 11, 21},
                          {31, 41, 12}, {22, 32, 42},
                          {15, 25, 35}, {45, 16, 26},
                          {36, 46, 17}, {27, 37, 47} };


let v021_262 = Reshape(v, {1,2,0}, {2,6,2});
then v021_262 == f32[2x6x2] { { {10, 20}, {30, 40},
                              {11, 21}, {31, 41},
                              {12, 22}, {32, 42} },
                             { {15, 25}, {35, 45},
                              {16, 26}, {36, 46},
                              {17, 27}, {37, 47} } };

As a special case, reshape can transform a single-element array to a scalar and vice versa. For example,

Reshape(f32[1x1] { {5} }, {0,1}, {}) == 5;
Reshape(5, {}, {1,1}) == f32[1x1] { {5} };

Rev (reverse)

See also XlaBuilder::Rev .

Rev(operand, dimensions)

Reverses the order of elements in the operand array along the specified dimensions , generating an output array of the same shape. Each element of the operand array at a multidimensional index is stored into the output array at a transformed index. The multidimensional index is transformed by reversing the index in each dimension to be reversed (ie, if a dimension of size N is one of the reversing dimensions, its index i is transformed into N - 1 - i).

One use for the Rev operation is to reverse the convolution weight array along the two window dimensions during the gradient computation in neural networks.

RngNormal

See also XlaBuilder::RngNormal .

Constructs an output of a given shape with random numbers generated following the \(N(\mu, \sigma)\) normal distribution. The parameters \(\mu\) and\(\sigma\), and output shape have to have a floating point elemental type. The parameters furthermore have to be scalar valued.

RngNormal(mu, sigma, shape)

RngUniform

See also XlaBuilder::RngUniform .

Constructs an output of a given shape with random numbers generated following the uniform distribution over the interval \([a,b)\). The parameters and output element type have to be a boolean type, an integral type or a floating point types, and the types have to be consistent. The CPU and GPU backends currently only support F64, F32, F16, BF16, S64, U64, S32 and U32. Furthermore, the parameters need to be scalar valued. If \(b <= a\) the result is implementation-defined.

RngUniform(a, b, shape)

RngBitGenerator

Generates an output with a given shape filled with uniform random bits using the specified algorithm (or backend default) and returns an updated state (with the same shape as initial state) and the generated random data.

Initial state is the initial state of the current random number generation. It and the required shape and valid values are dependent on the algorithm used.

The output is guaranteed to be a deterministic function of the initial state but it is not guaranteed to be deterministic between backends and different compiler versions.

RngBitGenerator(algorithm, key, shape)

Available values for algorithm :

• rng_default : Backend specific algorithm with backend specific shape requirements.

• rng_three_fry : ThreeFry counter-based PRNG algorithm. The initial_state shape is u64[2] with arbitrary values. Salmon et al. SC 2011. Parallel random numbers: as easy as 1, 2, 3.

• rng_philox : Philox algorithm to generate random numbers in parallel. The initial_state shape is u64[3] with arbitrary values. Salmon et al. SC 2011. Parallel random numbers: as easy as 1, 2, 3.

Scatter

The XLA scatter operation generates a sequence of results which are the values of the input array operands , with several slices (at indices specified by scatter_indices ) updated with the sequence of values in updates using update_computation .

See also XlaBuilder::Scatter .

scatter(operands..., scatter_indices, updates..., update_computation, index_vector_dim, update_window_dims, inserted_window_dims, scatter_dims_to_operand_dims)

Where:

• N is required to be greater or equal to 1.
• operands [ 0 ], ..., operands [ N-1 ] must all have the same dimensions.
• updates [ 0 ], ..., updates [ N-1 ] must all have the same dimensions.
• If N = 1 , Collate(T) is T .
• If N > 1 , Collate(T_0, ..., T_N) is a tuple of N elements of type T .

If index_vector_dim is equal to scatter_indices.rank we implicitly consider scatter_indices to have a trailing 1 dimension.

We define update_scatter_dims of type ArraySlice<int64> as the set of dimensions in updates shape that are not in update_window_dims , in ascending order.

The arguments of scatter should follow these constraints:

• Each updates array must be of rank update_window_dims.size + scatter_indices.rank - 1 .

• Bounds of dimension i in each updates array must conform to the following:

  • If i is present in update_window_dims (ie equal to update_window_dims [ k ] for some k ), then the bound of dimension i in updates must not exceed the corresponding bound of operand after accounting for the inserted_window_dims (ie adjusted_window_bounds [ k ], where adjusted_window_bounds contains the bounds of operand with the bounds at indices inserted_window_dims removed).
  • If i is present in update_scatter_dims (ie equal to update_scatter_dims [ k ] for some k ), then the bound of dimension i in updates must be equal to the corresponding bound of scatter_indices , skipping index_vector_dim (ie scatter_indices.shape.dims [ k ], if k < index_vector_dim and scatter_indices.shape.dims [ k+1 ] otherwise).

• update_window_dims must be in ascending order, not have any repeating dimension numbers, and be in the range [0, updates.rank) .

• inserted_window_dims must be in ascending order, not have any repeating dimension numbers, and be in the range [0, operand.rank) .

• operand.rank must equal the sum of update_window_dims.size and inserted_window_dims.size .

• scatter_dims_to_operand_dims.size must be equal to scatter_indices.shape.dims [ index_vector_dim ], and its values must be in the range [0, operand.rank) .

For a given index U in each updates array, the corresponding index I in the corresponding operands array into which this update has to be applied is computed as follows:

1. Let G = { U [ k ] for k in update_scatter_dims }. Use G to look up an index vector S in the scatter_indices array such that S [ i ] = scatter_indices [Combine( G , i )] where Combine(A, b) inserts b at positions index_vector_dim into A.
2. Create an index S in into operand using S by scattering S using the scatter_dims_to_operand_dims map. More formally:
   1. S in [ scatter_dims_to_operand_dims [ k ]] = S [ k ] if k < scatter_dims_to_operand_dims.size .
   2. S in [ _ ] = 0 otherwise.
3. Create an index W in into each operands array by scattering the indices at update_window_dims in U according to inserted_window_dims . More formally:
   1. W in [ window_dims_to_operand_dims ( k )] = U [ k ] if k is in update_window_dims , where window_dims_to_operand_dims is the monotonic function with domain [ 0 , update_window_dims.size ) and range [ 0 , operand.rank ) \ inserted_window_dims . (For example, if update_window_dims.size is 4 , operand.rank is 6 , and inserted_window_dims is { 0 , 2 } then window_dims_to_operand_dims is { 0 → 1 , 1 → 3 , 2 → 4 , 3 → 5 }).
   2. W in [ _ ] = 0 otherwise.
4. I is W in + S in where + is element-wise addition.

In summary, the scatter operation can be defined as follows.

• Initialize output with operands , ie for all indices J , for all indices O in the operands [ J ] array:
  output [ J ][ O ] = operands [ J ][ O ]
• For every index U in the updates [ J ] array and the corresponding index O in the operand [ J ] array, if O is a valid index for output :
  (output [ 0 ][ O ], ..., output [ N-1 ][ O ]) = update_computation ( output [ 0 ][ O ], ..., , output [ N-1 ][ O ], updates [ 0 ][ U ], ..., updates [ N-1 ][ U ])

The order in which updates are applied is non-deterministic. So, when multiple indices in updates refer to the same index in operands , the corresponding value in output will be non-deterministic.

Note that the first parameter that is passed into the update_computation will always be the current value from the output array and the second parameter will always be the value from the updates array. This is important specifically for cases when the update_computation is not commutative .

If indices_are_sorted is set to true then XLA can assume that start_indices are sorted (in ascending start_index_map order) by the user. If they are not then the semantics is implementation defined.

Informally, the scatter op can be viewed as an inverse of the gather op, ie the scatter op updates the elements in the input that are extracted by the corresponding gather op.

For a detailed informal description and examples, refer to the "Informal Description" section under Gather .

Select

See also XlaBuilder::Select .

Constructs an output array from elements of two input arrays, based on the values of a predicate array.

Select(pred, on_true, on_false)

The arrays on_true and on_false must have the same shape. This is also the shape of the output array. The array pred must have the same dimensionality as on_true and on_false , with the PRED element type.

For each element P of pred , the corresponding element of the output array is taken from on_true if the value of P is true , and from on_false if the value of P is false . As a restricted form of broadcasting , pred can be a scalar of type PRED . In this case, the output array is taken wholly from on_true if pred is true , and from on_false if pred is false .

Example with non-scalar pred :

let pred: PRED[4] = {true, false, false, true};
let v1: s32[4] = {1, 2, 3, 4};
let v2: s32[4] = {100, 200, 300, 400};
==>
Select(pred, v1, v2) = s32[4]{1, 200, 300, 4};

Example with scalar pred :

let pred: PRED = true;
let v1: s32[4] = {1, 2, 3, 4};
let v2: s32[4] = {100, 200, 300, 400};
==>
Select(pred, v1, v2) = s32[4]{1, 2, 3, 4};

Selections between tuples are supported. Tuples are considered to be scalar types for this purpose. If on_true and on_false are tuples (which must have the same shape!) then pred has to be a scalar of type PRED .

SelectAndScatter

See also XlaBuilder::SelectAndScatter .

This operation can be considered as a composite operation that first computes ReduceWindow on the operand array to select an element from each window, and then scatters the source array to the indices of the selected elements to construct an output array with the same shape as the operand array. The binary select function is used to select an element from each window by applying it across each window, and it is called with the property that the first parameter's index vector is lexicographically less than the second parameter's index vector. The select function returns true if the first parameter is selected and returns false if the second parameter is selected, and the function must hold transitivity (ie, if select(a, b) and select(b, c) are true , then select(a, c) is also true ) so that the selected element does not depend on the order of the elements traversed for a given window.

The function scatter is applied at each selected index in the output array. It takes two scalar parameters:

1. Current value at the selected index in the output array
2. The scatter value from source that applies to the selected index

It combines the two parameters and returns a scalar value that's used to update the value at the selected index in the output array. Initially, all indices of the output array are set to init_value .

The output array has the same shape as the operand array and the source array must have the same shape as the result of applying a ReduceWindow operation on the operand array. SelectAndScatter can be used to backpropagate the gradient values for a pooling layer in a neural network.

SelectAndScatter(operand, select, window_dimensions, window_strides, padding, source, init_value, scatter)

The figure below shows examples of using SelectAndScatter , with the select function computing the maximal value among its parameters. Note that when the windows overlap, as in the figure (2) below, an index of the operand array may be selected multiple times by different windows. In the figure, the element of value 9 is selected by both of the top windows (blue and red) and the binary addition scatter function produces the output element of value 8 (2 + 6).

The evaluation order of the scatter function is arbitrary and may be non-deterministic. Therefore, the scatter function should not be overly sensitive to reassociation. See the discussion about associativity in the context of Reduce for more details.

Send

See also XlaBuilder::Send .

Send(operand, channel_handle)

Sends the given operand data to a Recv instruction in another computation that shares the same channel handle. Does not return any data.

Similar to the Recv operation, the client API of Send operation represents synchronous communication, and is internally decomposed into 2 HLO instructions ( Send and SendDone ) to enable asynchronous data transfers. See also HloInstruction::CreateSend and HloInstruction::CreateSendDone .

Send(HloInstruction operand, int64 channel_id)

Initiates an asynchronous transfer of the operand to the resources allocated by the Recv instruction with the same channel id. Returns a context, which is used by a following SendDone instruction to wait for the completion of the data transfer. The context is a tuple of {operand (shape), request identifier (U32)} and it can only be used by a SendDone instruction.

SendDone(HloInstruction context)

Given a context created by a Send instruction, waits for the data transfer to complete. The instruction does not return any data.

Scheduling of channel instructions

The execution order of the 4 instructions for each channel ( Recv , RecvDone , Send , SendDone ) is as below.

• Recv happens before Send
• Send happens before RecvDone
• Recv happens before RecvDone
• Send happens before SendDone

When the backend compilers generate a linear schedule for each computation that communicates via channel instructions, there must not be cycles across the computations. For example, below schedules lead to deadlocks.

Slice

See also XlaBuilder::Slice .

Slicing extracts a sub-array from the input array. The sub-array is of the same rank as the input and contains the values inside a bounding box within the input array where the dimensions and indices of the bounding box are given as arguments to the slice operation.

Slice(operand, start_indices, limit_indices, strides)

1-dimensional example:

let a = {0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0}
Slice(a, {2}, {4}) produces:
  {2.0, 3.0}

2-dimensional example:

let b =
 { {0.0,  1.0,  2.0},
   {3.0,  4.0,  5.0},
   {6.0,  7.0,  8.0},
   {9.0, 10.0, 11.0} }

Slice(b, {2, 1}, {4, 3}) produces:
  { { 7.0,  8.0},
    {10.0, 11.0} }

Sort

See also XlaBuilder::Sort .

Sort(operands, comparator, dimension, is_stable)

If only one operand is provided:

• If the operand is a rank-1 tensor (an array), the result is a sorted array. If you want to sort the array into ascending order, the comparator should perform a less-than comparison. Formally, after the array is sorted, it holds for all index positions i, j with i < j that either comparator(value[i], value[j]) = comparator(value[j], value[i]) = false or comparator(value[i], value[j]) = true .

• If the operand has higher rank, the operand is sorted along the provided dimension. For example, for a rank-2 tensor (a matrix), a dimension value of 0 will independently sort every column, and a dimension value of 1 will independently sort each row. If no dimension number is provided, then the last dimension is chosen by default. For the dimension which is sorted, the same sorting order applies as in the rank-1 case.

If n > 1 operands are provided:

• All n operands must be tensors with the same dimensions. The element types of the tensors may be different.

• All operands are sorted together, not individually. Conceptually the operands are treated as a tuple. When checking whether the elements of each operand at index positions i and j need to be swapped, the comparator is called with 2 * n scalar parameters, where parameter 2 * k corresponds to the value at position i from the k-th operand, and parameter 2 * k + 1 corresponds to the value at position j from the k-th operand. Usually, the comparator would thus compare parameters 2 * k and 2 * k + 1 with each other and possibly use other parameter pairs as tie breakers.

• The result is a tuple that consists of the operands in sorted order (along the provided dimension, as above). The i-th operand of the tuple corresponds to the i-th operand of Sort.

For example, if there are three operands operand0 = [3, 1] , operand1 = [42, 50] , operand2 = [-3.0, 1.1] , and the comparator compares only the values of operand0 with less-than, then the output of the sort is the tuple ([1, 3], [50, 42], [1.1, -3.0]) .

If is_stable is set to true, the sort is guaranteed to be stable, that is, if there are elements which are considered to be equal by the comparator, the relative order of the equal values is preserved. Two elements e1 and e2 are equal if and only if comparator(e1, e2) = comparator(e2, e1) = false . By default, is_stable is set to false.

Transpose

See also the tf.reshape operation.

Transpose(operand)

Permutes the operand dimensions with the given permutation, so ∀ i . 0 ≤ i < rank ⇒ input_dimensions[permutation[i]] = output_dimensions[i] .

This is the same as Reshape(operand, permutation, Permute(permutation, operand.shape.dimensions)).

TriangularSolve

See also XlaBuilder::TriangularSolve .

Solves systems of linear equations with lower or upper triangular coefficient matrices by forward- or back-substitution. Broadcasting along leading dimensions, this routine solves one of the matrix systems op(a) * x = b , or x * op(a) = b , for the variable x , given a and b , where op(a) is either op(a) = a , or op(a) = Transpose(a) , or op(a) = Conj(Transpose(a)) .

TriangularSolve(a, b, left_side, lower, unit_diagonal, transpose_a)

Input data is read only from the lower/upper triangle of a , depending on the value of lower . Values from the other triangle are ignored. Output data is returned in the same triangle; the values in the other triangle are implementation-defined and may be anything.

If the rank of a and b are greater than 2, they are treated as batches of matrices, where all except the minor 2 dimensions are batch dimensions. a and b must have equal batch dimensions.

Tuple

See also XlaBuilder::Tuple .

A tuple containing a variable number of data handles, each of which has its own shape.

This is analogous to std::tuple in C++. Conceptually:

let v: f32[10] = f32[10]{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
let s: s32 = 5;
let t: (f32[10], s32) = tuple(v, s);

Tuples can be deconstructed (accessed) via the GetTupleElement operation.

While

See also XlaBuilder::While .

While(condition, body, init)

Sequentially executes the body until the condition fails. This is similar to a typical while loop in many other languages except for the differences and restrictions listed below.

• A While node returns a value of type T , which is the result from the last execution of the body .
• The shape of the type T is statically determined and must be the same across all iterations.

The T parameters of the computations are initialized with the init value in the first iteration and are automatically updated to the new result from body in each subsequent iteration.

One main use case of the While node is to implement the repeated execution of training in neural networks. Simplified pseudocode is shown below with a graph that represents the computation. The code can be found in while_test.cc . The type T in this example is a Tuple consisting of an int32 for the iteration count and a vector[10] for the accumulator. For 1000 iterations, the loop keeps adding a constant vector to the accumulator.

// Pseudocode for the computation.
init = {0, zero_vector[10]} // Tuple of int32 and float[10].
result = init;
while (result(0) < 1000) {
  iteration = result(0) + 1;
  new_vector = result(1) + constant_vector[10];
  result = {iteration, new_vector};
}