tf.dataAPIによるパフォーマンスの向上

TensorFlow.orgで表示 GoogleColabで実行 GitHubでソースを表示 ノートブックをダウンロード

概要

GPUとTPUは、単一のトレーニングステップの実行に必要な時間を大幅に短縮できます。ピークパフォーマンスを達成するには、現在のステップが完了する前に次のステップのデータを配信する効率的な入力パイプラインが必要です。 tf.data APIは、柔軟かつ効率的な入力パイプラインを構築することができます。この文書では、使用する方法を示しtf.data性の高いパフォーマンスTensorFlow入力パイプラインを構築するためにAPIを。

続行する前に、チェックビルドTensorFlow入力パイプラインを使用する方法を学ぶために導くtf.data APIを。

資力

設定

import tensorflow as tf

import time

このガイド全体を通して、データセット全体を反復処理し、パフォーマンスを測定します。再現性のあるパフォーマンスベンチマークを作成するのは難しい場合があります。再現性に影響を与えるさまざまな要因は次のとおりです。

  • 現在のCPU負荷
  • ネットワークトラフィック
  • キャッシュなどの複雑なメカニズム

再現可能なベンチマークを取得するには、人工的な例を作成します。

データセット

継承したクラスを定義して起動しますtf.data.Dataset呼ばArtificialDataset 。このデータセット:

  • 生成しnum_samplesサンプルを(デフォルトは3です)
  • ファイルを開くことをシミュレートするために、最初のアイテムの前にしばらくスリープします
  • ファイルからのデータの読み取りをシミュレートするために、各アイテムを生成する前にしばらくスリープします
class ArtificialDataset(tf.data.Dataset):
    def _generator(num_samples):
        # Opening the file
        time.sleep(0.03)

        for sample_idx in range(num_samples):
            # Reading data (line, record) from the file
            time.sleep(0.015)

            yield (sample_idx,)

    def __new__(cls, num_samples=3):
        return tf.data.Dataset.from_generator(
            cls._generator,
            output_signature = tf.TensorSpec(shape = (1,), dtype = tf.int64),
            args=(num_samples,)
        )

このデータセットは同様であるtf.data.Dataset.rangeの開始時とで、の間の各サンプルの固定遅延を加算し、1。

トレーニングループ

次に、データセットの反復にかかる時間を測定するダミーのトレーニングループを記述します。トレーニング時間はシミュレートされます。

def benchmark(dataset, num_epochs=2):
    start_time = time.perf_counter()
    for epoch_num in range(num_epochs):
        for sample in dataset:
            # Performing a training step
            time.sleep(0.01)
    print("Execution time:", time.perf_counter() - start_time)

パフォーマンスを最適化する

パフォーマンスを最適化することができますどのように発揮するには、パフォーマンスが向上しますArtificialDataset

素朴なアプローチ

トリックを使用せずに単純なパイプラインから開始し、データセットをそのまま繰り返します。

benchmark(ArtificialDataset())
Execution time: 0.2588925869999912

内部的には、次のように実行時間が費やされました。

データ実行時間プロット-素朴な方法

プロットは、トレーニングステップの実行には以下が含まれることを示しています。

  • まだ開いていない場合はファイルを開く
  • ファイルからのデータエントリの取得
  • トレーニングのためのデータの使用

ただし、ここのような単純な同期実装では、パイプラインがデータをフェッチしている間、モデルはアイドル状態になっています。逆に、モデルがトレーニングしている間、入力パイプラインはアイドル状態になっています。したがって、トレーニングステップ時間は、開封時間、読書時間、トレーニング時間の合計です。

次のセクションでは、この入力パイプラインに基づいて、パフォーマンスの高いTensorFlow入力パイプラインを設計するためのベストプラクティスを示します。

プリフェッチ

プリフェッチは、トレーニングステップの前処理とモデル実行と重複します。モデルは、トレーニングステップ実行中にs 、入力パイプラインは、工程のためのデータを読み取っているs+1 。そうすることで、ステップ時間がトレーニングの最大値(合計ではなく)に短縮され、データの抽出にかかる時間が短縮されます。

tf.data APIを提供しtf.data.Dataset.prefetch変換を。これは、データが生成される時間とデータが消費される時間を分離するために使用できます。特に、変換では、バックグラウンドスレッドと内部バッファーを使用して、要求される前に入力データセットから要素をプリフェッチします。プリフェッチする要素の数は、単一のトレーニングステップで消費されるバッチの数と同じ(またはそれ以上)である必要があります。あなたは手動で調整するには、この値か、またはそれを設定しtf.data.AUTOTUNE促すメッセージが表示されます、 tf.data実行時に動的にチューニングした値を、ランタイムを。

プリフェッチ変換は、「プロデューサー」の作業と「コンシューマー」の作業をオーバーラップする機会があるときはいつでも利点を提供することに注意してください。

benchmark(
    ArtificialDataset()
    .prefetch(tf.data.AUTOTUNE)
)
Execution time: 0.21371877499996117

データ実行時間プロット-プリフェッチ方法

ここで、データ実行時間のプロットが示すように、トレーニングステップがサンプル0に対して実行されている間、入力パイプラインはサンプル1のデータを読み取っています。

データ抽出の並列化

実際の設定では、入力データはリモートで保存される場合があります(たとえば、Google Cloud StorageまたはHDFSに)。ローカルストレージとリモートストレージの違いにより、ローカルでデータを読み取るときに適切に機能するデータセットパイプラインは、リモートでデータを読み取るときにI / Oでボトルネックになる可能性があります。

  • タイム・ツー・1バイト目:リモートストレージからファイルの最初のバイトを読むには、ローカルストレージからよりも長い大きさの注文を取ることができます。
  • スループット読む:リモートストレージは通常、大規模な総帯域幅を提供していますが、1つのファイルを読み込むことはこれだけの帯域幅のごく一部を利用することができるかもしれません。

生のバイトがメモリにロードされるとさらに、また、(例えば、デシリアライズおよび/またはデータを復号化する必要があるかもしれないいるProtobuf追加の計算を必要とします)。このオーバーヘッドは、データがローカルに保存されているかリモートに保存されているかに関係なく存在しますが、データが効果的にプリフェッチされない場合、リモートの場合はさらに悪化する可能性があります。

様々なデータ抽出のオーバーヘッドの影響を軽減するために、 tf.data.Dataset.interleave変換は、(例えば、データ・ファイル・リーダーのような)他のデータセットの内容をインターリーブ、データローディングステップを並列化するために使用することができます。オーバーラップのデータセットの数で指定することができるcycle_length並列処理のレベルを指定することができながら、引数num_parallel_calls引数。同様にprefetch変換、 interleave変換がサポートされていtf.data.AUTOTUNEするために使用する並列処理のどのレベルについての決定を委任れる、 tf.dataランタイム。

シーケンシャルインターリーブ

デフォルト引数tf.data.Dataset.interleave変換は、順次2つのデータセットからの単一のサンプルをインターリーブします。

benchmark(
    tf.data.Dataset.range(2)
    .interleave(lambda _: ArtificialDataset())
)
Execution time: 0.4863386449999325

データ実行時間プロット-シーケンシャルインターリーブ

このデータ実行時間プロットの挙動発揮することを可能にするinterleave利用可能な2つのデータセットから、代替的サンプルを取り出し、変換を。ただし、ここではパフォーマンスの向上は含まれていません。

並列インターリーブ

さて、使用num_parallel_calls引数interleave変換を。これにより、複数のデータセットが並行して読み込まれ、ファイルが開かれるのを待つ時間が短縮されます。

benchmark(
    tf.data.Dataset.range(2)
    .interleave(
        lambda _: ArtificialDataset(),
        num_parallel_calls=tf.data.AUTOTUNE
    )
)
Execution time: 0.2785680570000295

データ実行時間プロット-並列インターリーブ方式

今回は、データ実行時間のプロットが示すように、2つのデータセットの読み取りが並列化され、グローバルデータ処理時間が短縮されます。

データ変換の並列化

データを準備するとき、入力要素を前処理する必要がある場合があります。この目的のために、 tf.data APIの提供tf.data.Dataset.map入力データセットの各要素にユーザ定義関数を適用し変換、。入力要素は互いに独立しているため、前処理を複数のCPUコア間で並列化できます。これを可能にするために、同様にprefetchinterleave変換、 map変換が提供num_parallel_calls並列処理のレベルを指定する引数。

最高の価値選ぶnum_parallel_calls引数は、ハードウェアに依存します(たとえば、その大きさや形状など)あなたのトレーニングデータの特性、マップ機能のコスト、および他のどのような処理が同時にCPU上で起こっています。単純なヒューリスティックは、使用可能なCPUコアの数を使用することです。しかし、用としてprefetchinterleave変換、 map変換がサポートされていtf.data.AUTOTUNEするために使用する並列処理のどのレベルについての決定を委任れるtf.dataランタイム。

def mapped_function(s):
    # Do some hard pre-processing
    tf.py_function(lambda: time.sleep(0.03), [], ())
    return s

シーケンシャルマッピング

使用して開始mapベースライン例として、並列なしの変換を。

benchmark(
    ArtificialDataset()
    .map(mapped_function)
)
Execution time: 0.44197996000002604

データ実行時間プロット-シーケンシャルマッピング方法

ナイーブなアプローチ、ここで、プロットが示すように、時間が(マッピング)前処理及びトレーニングステップは1回の反復のために一緒に合計し、読み取り、開口のために費やされました。

並列マッピング

ここで、同じ前処理関数を使用しますが、複数のサンプルに並行して適用します。

benchmark(
    ArtificialDataset()
    .map(
        mapped_function,
        num_parallel_calls=tf.data.AUTOTUNE
    )
)
Execution time: 0.2774802769999951

データ実行時間-並列マッピング

データプロットが示すように、前処理ステップが重複し、1回の反復の全体的な時間が短縮されます。

キャッシング

tf.data.Dataset.cache変換は、メモリまたはローカルストレージ上のいずれかに、データセットをキャッシュすることができます。これにより、一部の操作(ファイルのオープンやデータの読み取りなど)が各エポック中に実行されるのを防ぐことができます。

benchmark(
    ArtificialDataset()
    .map(  # Apply time consuming operations before cache
        mapped_function
    ).cache(
    ),
    5
)
Execution time: 0.37056952400007503

データ実行時間-キャッシュされたデータセットメソッド

ここでは、データセットをキャッシュするとき、前に変換するデータ実行時間のプロットが示すcache (ファイルのオープンと読み込みデータのような)1は、最初のエポック中に実行されています。次のエポックは、キャッシュされたデータによって再利用されますcache変換を。

渡されたユーザー定義関数ならばmap変換が高価であり、適用cache後の変換をmapたデータセットがまだメモリまたはローカルストレージに収まる限りとして変換。ユーザー定義関数は、スペースを増加させた場合のいずれか、キャッシュ容量を超えてデータセットを保存した後、それを適用するために必要なcache変換またはリソース使用量を減らすために、あなたのトレーニングの仕事の前に前処理してデータを考慮してください。

マッピングのベクトル化

渡されるユーザ定義関数呼び出しmapオーバーヘッドスケジューリングに関係している変換し、ユーザ定義関数を実行します。ユーザ定義関数をベクトル化(すなわち、それは一度入力のバッチで動作有する)と適用するbatchの前に変換をmap変換。

このグッドプラクティスを説明するために、人工データセットは適切ではありません。スケジューリング遅延は、はるかに少ないで使用される数十ミリ秒よりも約10マイクロ秒(10E-6秒)でありArtificialDataset 、したがってその影響を見ることが困難です。

この例では、基地使用tf.data.Dataset.range機能を、その最も単純な形にトレーニング・ループを簡素化します。

fast_dataset = tf.data.Dataset.range(10000)

def fast_benchmark(dataset, num_epochs=2):
    start_time = time.perf_counter()
    for _ in tf.data.Dataset.range(num_epochs):
        for _ in dataset:
            pass
    tf.print("Execution time:", time.perf_counter() - start_time)

def increment(x):
    return x+1

スカラーマッピング

fast_benchmark(
    fast_dataset
    # Apply function one item at a time
    .map(increment)
    # Batch
    .batch(256)
)
Execution time: 0.23767012700000123

データ実行時間-スカラーマップメソッド

上のプロットは、スカラーマッピング方法を使用して(より少ないサンプルで)何が起こっているかを示しています。これは、マップされた関数が各サンプルに適用されていることを示しています。この関数は非常に高速ですが、時間のパフォーマンスに影響を与えるオーバーヘッドがあります。

ベクトル化されたマッピング

fast_benchmark(
    fast_dataset
    .batch(256)
    # Apply function on a batch of items
    # The tf.Tensor.__add__ method already handle batches
    .map(increment)
)
Execution time: 0.023475749999988693

データ実行時間-ベクトル化されたマップメソッド

今回は、マップされた関数が1回呼び出され、サンプルのバッチに適用されます。データ実行時間のプロットが示すように、関数の実行にはさらに時間がかかる可能性がありますが、オーバーヘッドは1回だけ表示されるため、全体的な時間パフォーマンスが向上します。

メモリフットプリントの削減

含む、変換の数、 interleaveprefetch 、およびshuffle 、要素の内部バッファを維持します。ユーザ定義関数は、に渡された場合map変換バッファ素子は、メモリ使用量に影響を与えることの要素のサイズは、マップ変換の順序および変換を変更します。一般に、パフォーマンスのために異なる順序が望ましい場合を除いて、メモリフットプリントが低くなる順序を選択します。

部分的な計算のキャッシュ

後にデータセットをキャッシュすることが推奨されmapこの変換がメモリに収まるようにデータが大きすぎて行う場合を除き、変換。マップされた関数を、時間のかかる部分とメモリを消費する部分の2つの部分に分割できる場合、トレードオフを実現できます。この場合、以下のように変換を連鎖させることができます。

dataset.map(time_consuming_mapping).cache().map(memory_consuming_mapping)

このように、時間のかかる部分は最初のエポック中にのみ実行され、キャッシュスペースを使いすぎないようにします。

ベストプラクティスの概要

パフォーマンスの高いTensorFlow入力パイプラインを設計するためのベストプラクティスの概要は次のとおりです。

フィギュアの再現

中に深く移動するにはtf.data.Dataset APIを理解し、あなた自身のパイプラインで遊ぶことができます。以下は、このガイドの画像をプロットするために使用されるコードです。これは、次のような一般的な問題のいくつかの回避策を示す、良い出発点になる可能性があります。

  • 実行時間の再現性
  • マップされた関数は実行に熱心です
  • interleave変換呼び出し可能
import itertools
from collections import defaultdict

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt

データセット

同様にArtificialDatasetあなたは、各ステップに費やされた時間を返すデータセットを構築することができます。

class TimeMeasuredDataset(tf.data.Dataset):
    # OUTPUT: (steps, timings, counters)
    OUTPUT_TYPES = (tf.dtypes.string, tf.dtypes.float32, tf.dtypes.int32)
    OUTPUT_SHAPES = ((2, 1), (2, 2), (2, 3))

    _INSTANCES_COUNTER = itertools.count()  # Number of datasets generated
    _EPOCHS_COUNTER = defaultdict(itertools.count)  # Number of epochs done for each dataset

    def _generator(instance_idx, num_samples):
        epoch_idx = next(TimeMeasuredDataset._EPOCHS_COUNTER[instance_idx])

        # Opening the file
        open_enter = time.perf_counter()
        time.sleep(0.03)
        open_elapsed = time.perf_counter() - open_enter

        for sample_idx in range(num_samples):
            # Reading data (line, record) from the file
            read_enter = time.perf_counter()
            time.sleep(0.015)
            read_elapsed = time.perf_counter() - read_enter

            yield (
                [("Open",), ("Read",)],
                [(open_enter, open_elapsed), (read_enter, read_elapsed)],
                [(instance_idx, epoch_idx, -1), (instance_idx, epoch_idx, sample_idx)]
            )
            open_enter, open_elapsed = -1., -1.  # Negative values will be filtered


    def __new__(cls, num_samples=3):
        return tf.data.Dataset.from_generator(
            cls._generator,
            output_types=cls.OUTPUT_TYPES,
            output_shapes=cls.OUTPUT_SHAPES,
            args=(next(cls._INSTANCES_COUNTER), num_samples)
        )

このデータセットは、形状のサンプルを提供する[[2, 1], [2, 2], [2, 3]]とタイプの[tf.dtypes.string, tf.dtypes.float32, tf.dtypes.int32]各サンプルは次のとおりです。

(
  [("Open"), ("Read")],
  [(t0, d), (t0, d)],
  [(i, e, -1), (i, e, s)]
)

どこ:

  • OpenReadのステップ識別子です
  • t0対応するステップが開始されたときにタイムスタンプです
  • d 、対応するステップに費やされた時間であります
  • iインスタンスインデックスであります
  • e (データセットが反復された回数)エポックインデックスであります
  • sサンプルインデックスであります

反復ループ

反復ループをもう少し複雑にして、すべてのタイミングを集約します。これは、上記のようにサンプルを生成するデータセットでのみ機能します。

def timelined_benchmark(dataset, num_epochs=2):
    # Initialize accumulators
    steps_acc = tf.zeros([0, 1], dtype=tf.dtypes.string)
    times_acc = tf.zeros([0, 2], dtype=tf.dtypes.float32)
    values_acc = tf.zeros([0, 3], dtype=tf.dtypes.int32)

    start_time = time.perf_counter()
    for epoch_num in range(num_epochs):
        epoch_enter = time.perf_counter()
        for (steps, times, values) in dataset:
            # Record dataset preparation informations
            steps_acc = tf.concat((steps_acc, steps), axis=0)
            times_acc = tf.concat((times_acc, times), axis=0)
            values_acc = tf.concat((values_acc, values), axis=0)

            # Simulate training time
            train_enter = time.perf_counter()
            time.sleep(0.01)
            train_elapsed = time.perf_counter() - train_enter

            # Record training informations
            steps_acc = tf.concat((steps_acc, [["Train"]]), axis=0)
            times_acc = tf.concat((times_acc, [(train_enter, train_elapsed)]), axis=0)
            values_acc = tf.concat((values_acc, [values[-1]]), axis=0)

        epoch_elapsed = time.perf_counter() - epoch_enter
        # Record epoch informations
        steps_acc = tf.concat((steps_acc, [["Epoch"]]), axis=0)
        times_acc = tf.concat((times_acc, [(epoch_enter, epoch_elapsed)]), axis=0)
        values_acc = tf.concat((values_acc, [[-1, epoch_num, -1]]), axis=0)
        time.sleep(0.001)

    tf.print("Execution time:", time.perf_counter() - start_time)
    return {"steps": steps_acc, "times": times_acc, "values": values_acc}

プロット方法

最後に、返される値指定されたタイムラインプロットすることができる機能を定義timelined_benchmark機能を。

def draw_timeline(timeline, title, width=0.5, annotate=False, save=False):
    # Remove invalid entries (negative times, or empty steps) from the timelines
    invalid_mask = np.logical_and(timeline['times'] > 0, timeline['steps'] != b'')[:,0]
    steps = timeline['steps'][invalid_mask].numpy()
    times = timeline['times'][invalid_mask].numpy()
    values = timeline['values'][invalid_mask].numpy()

    # Get a set of different steps, ordered by the first time they are encountered
    step_ids, indices = np.stack(np.unique(steps, return_index=True))
    step_ids = step_ids[np.argsort(indices)]

    # Shift the starting time to 0 and compute the maximal time value
    min_time = times[:,0].min()
    times[:,0] = (times[:,0] - min_time)
    end = max(width, (times[:,0]+times[:,1]).max() + 0.01)

    cmap = mpl.cm.get_cmap("plasma")
    plt.close()
    fig, axs = plt.subplots(len(step_ids), sharex=True, gridspec_kw={'hspace': 0})
    fig.suptitle(title)
    fig.set_size_inches(17.0, len(step_ids))
    plt.xlim(-0.01, end)

    for i, step in enumerate(step_ids):
        step_name = step.decode()
        ax = axs[i]
        ax.set_ylabel(step_name)
        ax.set_ylim(0, 1)
        ax.set_yticks([])
        ax.set_xlabel("time (s)")
        ax.set_xticklabels([])
        ax.grid(which="both", axis="x", color="k", linestyle=":")

        # Get timings and annotation for the given step
        entries_mask = np.squeeze(steps==step)
        serie = np.unique(times[entries_mask], axis=0)
        annotations = values[entries_mask]

        ax.broken_barh(serie, (0, 1), color=cmap(i / len(step_ids)), linewidth=1, alpha=0.66)
        if annotate:
            for j, (start, width) in enumerate(serie):
                annotation = "\n".join([f"{l}: {v}" for l,v in zip(("i", "e", "s"), annotations[j])])
                ax.text(start + 0.001 + (0.001 * (j % 2)), 0.55 - (0.1 * (j % 2)), annotation,
                        horizontalalignment='left', verticalalignment='center')
    if save:
        plt.savefig(title.lower().translate(str.maketrans(" ", "_")) + ".svg")

マップされた関数にラッパーを使用する

熱心なコンテキストにマッピング機能を実行するには、内部でそれらをラップする必要がありtf.py_functionコール。

def map_decorator(func):
    def wrapper(steps, times, values):
        # Use a tf.py_function to prevent auto-graph from compiling the method
        return tf.py_function(
            func,
            inp=(steps, times, values),
            Tout=(steps.dtype, times.dtype, values.dtype)
        )
    return wrapper

パイプラインの比較

_batch_map_num_items = 50

def dataset_generator_fun(*args):
    return TimeMeasuredDataset(num_samples=_batch_map_num_items)

ナイーブ

@map_decorator
def naive_map(steps, times, values):
    map_enter = time.perf_counter()
    time.sleep(0.001)  # Time consuming step
    time.sleep(0.0001)  # Memory consuming step
    map_elapsed = time.perf_counter() - map_enter

    return (
        tf.concat((steps, [["Map"]]), axis=0),
        tf.concat((times, [[map_enter, map_elapsed]]), axis=0),
        tf.concat((values, [values[-1]]), axis=0)
    )

naive_timeline = timelined_benchmark(
    tf.data.Dataset.range(2)
    .flat_map(dataset_generator_fun)
    .map(naive_map)
    .batch(_batch_map_num_items, drop_remainder=True)
    .unbatch(),
    5
)
WARNING:tensorflow:From /tmp/ipykernel_31283/64197174.py:36: calling DatasetV2.from_generator (from tensorflow.python.data.ops.dataset_ops) with output_types is deprecated and will be removed in a future version.
Instructions for updating:
Use output_signature instead
WARNING:tensorflow:From /tmp/ipykernel_31283/64197174.py:36: calling DatasetV2.from_generator (from tensorflow.python.data.ops.dataset_ops) with output_shapes is deprecated and will be removed in a future version.
Instructions for updating:
Use output_signature instead
Execution time: 12.536449214999948

最適化

@map_decorator
def time_consuming_map(steps, times, values):
    map_enter = time.perf_counter()
    time.sleep(0.001 * values.shape[0])  # Time consuming step
    map_elapsed = time.perf_counter() - map_enter

    return (
        tf.concat((steps, tf.tile([[["1st map"]]], [steps.shape[0], 1, 1])), axis=1),
        tf.concat((times, tf.tile([[[map_enter, map_elapsed]]], [times.shape[0], 1, 1])), axis=1),
        tf.concat((values, tf.tile([[values[:][-1][0]]], [values.shape[0], 1, 1])), axis=1)
    )


@map_decorator
def memory_consuming_map(steps, times, values):
    map_enter = time.perf_counter()
    time.sleep(0.0001 * values.shape[0])  # Memory consuming step
    map_elapsed = time.perf_counter() - map_enter

    # Use tf.tile to handle batch dimension
    return (
        tf.concat((steps, tf.tile([[["2nd map"]]], [steps.shape[0], 1, 1])), axis=1),
        tf.concat((times, tf.tile([[[map_enter, map_elapsed]]], [times.shape[0], 1, 1])), axis=1),
        tf.concat((values, tf.tile([[values[:][-1][0]]], [values.shape[0], 1, 1])), axis=1)
    )


optimized_timeline = timelined_benchmark(
    tf.data.Dataset.range(2)
    .interleave(  # Parallelize data reading
        dataset_generator_fun,
        num_parallel_calls=tf.data.AUTOTUNE
    )
    .batch(  # Vectorize your mapped function
        _batch_map_num_items,
        drop_remainder=True)
    .map(  # Parallelize map transformation
        time_consuming_map,
        num_parallel_calls=tf.data.AUTOTUNE
    )
    .cache()  # Cache data
    .map(  # Reduce memory usage
        memory_consuming_map,
        num_parallel_calls=tf.data.AUTOTUNE
    )
    .prefetch(  # Overlap producer and consumer works
        tf.data.AUTOTUNE
    )
    .unbatch(),
    5
)
Execution time: 6.391495143999919
draw_timeline(naive_timeline, "Naive", 15)

png

draw_timeline(optimized_timeline, "Optimized", 15)

png