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ヨーロッパで広がるCOVID-19のモデリングと介入の効果

MITライセンスの下でライセンス供与

TensorFlow.orgで表示 GoogleColabで実行 GitHubでソースを表示ノートブックをダウンロードする

2020年初頭のCOVID-19の蔓延を遅らせるために、ヨーロッパ諸国は、重要でない事業の閉鎖、個々の症例の隔離、旅行禁止、および社会的距離を促進するその他の措置などの非医薬品介入を採用しました。インペリアルカレッジのCOVID-19対応チームは、ベイズ階層モデルとメカニズムを組み合わせて、論文「ヨーロッパ11か国におけるCOVID-19への感染数と非医薬品介入の影響の推定」でこれらの対策の有効性を分析しました。疫学モデル。

このColabには、その分析のTensorFlow確率(TFP)実装が含まれており、次のように構成されています。

  • 「モデル設定」は、病気の伝染とその結果としての死亡の疫学的モデル、モデルパラメータに対するベイズの事前分布、およびパラメータ値を条件とする死亡数の分布を定義します。
  • 「データ前処理」は、各国での介入のタイミングと種類、経時的な死亡数、および感染者の推定死亡率に関するデータをロードします。
  • 「モデル推論」は、ベイズ階層モデルを構築し、ハミルトニアンモンテカルロ(HMC)を実行して、パラメーターの事後分布からサンプリングします。
  • 「結果」は、予測された死亡、介入がない場合の反事実的死亡など、関心のある量の事後予測分布を示しています。

この論文は、各国が各感染者によって感染した新しい感染の数($ R_t $)をなんとか削減したが、信頼区間には$ R_t = 1 $(それを超えると流行が広がり続ける値)が含まれているという証拠を発見しました。介入の有効性について強力な結論を出すのは時期尚早でした。この論文のStanコードは、著者のGithubリポジトリにあり、このColabはバージョン2を再現しています。

pip3 install -q git+git://github.com/arviz-devs/arviz.git
pip3 install -q tf-nightly tfp-nightly

輸入

1モデルのセットアップ

1.1感染と死亡のメカニズムモデル

感染モデルは、各国の感染数を経時的にシミュレートします。入力データは、介入のタイミングとタイプ、母集団のサイズ、および初期のケースです。パラメータは、介入の有効性と病気の伝染率を制御します。予想される死亡数のモデルは、予測される感染症に致死率を適用します。

感染モデルは、以前の毎日の感染と、連続間隔分布(感染してから他の誰かに感染するまでの日数にわたる分布)の畳み込みを実行します。各タイムステップで、時間$ t $、$ n_t $での新しい感染の数は次のように計算されます

\ begin {equation} \ sum_ {i = 0} ^ {t-1} n_i \ mu_t \ text {p}(\ text {} i | \ text {新たに} tに感染した人からキャッチ)\ end {ここで、$ \ mu_t = R_t $であり、条件付き確率は、以下に定義するconv_serial_intervalに格納されます。

予想される死亡のモデルは、毎日の感染の畳み込みと、感染と死亡の間の日数の分布を実行します。つまり、$ t $日の予想死亡数は次のように計算されます。

\ begin {equation} \ sum_ {i = 0} ^ {t-1} n_i \ text {p($ t $日の死亡| $ i $日の感染)} \ end {equation}ここで条件付き確率が保存されますconv_fatality_rate 、以下に定義されています。

from tensorflow_probability.python.internal import broadcast_util as bu

def predict_infections(
    intervention_indicators, population, initial_cases, mu, alpha_hier,
    conv_serial_interval, initial_days, total_days):
  """Predict the number of infections by forward-simulation.

  Args:
    intervention_indicators: Binary array of shape
      `[num_countries, total_days, num_interventions]`, in which `1` indicates
      the intervention is active in that country at that time and `0` indicates
      otherwise.
    population: Vector of length `num_countries`. Population of each country.
    initial_cases: Array of shape `[batch_size, num_countries]`. Number of cases
      in each country at the start of the simulation.
    mu: Array of shape `[batch_size, num_countries]`. Initial reproduction rate
      (R_0) by country.
    alpha_hier: Array of shape `[batch_size, num_interventions]` representing
      the effectiveness of interventions.
    conv_serial_interval: Array of shape
      `[total_days - initial_days, total_days]` output from
      `make_conv_serial_interval`. Convolution kernel for serial interval
      distribution.
    initial_days: Integer, number of sequential days to seed infections after
      the 10th death in a country. (N0 in the authors' Stan code.)
    total_days: Integer, number of days of observed data plus days to forecast.
      (N2 in the authors' Stan code.)
  Returns:
    predicted_infections: Array of shape
      `[total_days, batch_size, num_countries]`. (Batched) predicted number of
      infections over time and by country.
  """
  alpha = alpha_hier - tf.cast(np.log(1.05) / 6.0, DTYPE)

  # Multiply the effectiveness of each intervention in each country (alpha)
  # by the indicator variable for whether the intervention was active and sum
  # over interventions, yielding an array of shape
  # [total_days, batch_size, num_countries] that represents the total effectiveness of
  # all interventions in each country on each day (for a batch of data).
  linear_prediction = tf.einsum(
      'ijk,...k->j...i', intervention_indicators, alpha)

  # Adjust the reproduction rate per country downward, according to the
  # effectiveness of the interventions.
  rt = mu * tf.exp(-linear_prediction, name='reproduction_rate')

  # Initialize storage array for daily infections and seed it with initial
  # cases.
  daily_infections = tf.TensorArray(
      dtype=DTYPE, size=total_days, element_shape=initial_cases.shape)
  for i in range(initial_days):
    daily_infections = daily_infections.write(i, initial_cases)

  # Initialize cumulative cases.
  init_cumulative_infections = initial_cases * initial_days

  # Simulate forward for total_days days.
  cond = lambda i, *_: i < total_days
  def body(i, prev_daily_infections, prev_cumulative_infections):
    # The probability distribution over days j that someone infected on day i
    # caught the virus from someone infected on day j.
    p_infected_on_day = tf.gather(
        conv_serial_interval, i - initial_days, axis=0)

    # Multiply p_infected_on_day by the number previous infections each day and
    # by mu, and sum to obtain new infections on day i. Mu is adjusted by
    # the fraction of the population already infected, so that the population
    # size is the upper limit on the number of infections.
    prev_daily_infections_array = prev_daily_infections.stack()
    to_sum = prev_daily_infections_array * bu.left_justified_expand_dims_like(
        p_infected_on_day, prev_daily_infections_array)
    convolution = tf.reduce_sum(to_sum, axis=0)
    rt_adj = (
        (population - prev_cumulative_infections) / population
        ) * tf.gather(rt, i)
    new_infections = rt_adj * convolution

    # Update the prediction array and the cumulative number of infections.
    daily_infections = prev_daily_infections.write(i, new_infections)
    cumulative_infections = prev_cumulative_infections + new_infections
    return i + 1, daily_infections, cumulative_infections

  _, daily_infections_final, last_cumm_sum = tf.while_loop(
      cond, body,
      (initial_days, daily_infections, init_cumulative_infections),
      maximum_iterations=(total_days - initial_days))
  return daily_infections_final.stack()

def predict_deaths(predicted_infections, ifr_noise, conv_fatality_rate):
  """Expected number of reported deaths by country, by day.

  Args:
    predicted_infections: Array of shape
      `[total_days, batch_size, num_countries]` output from
      `predict_infections`.
    ifr_noise: Array of shape `[batch_size, num_countries]`. Noise in Infection
      Fatality Rate (IFR).
    conv_fatality_rate: Array of shape
      `[total_days - 1, total_days, num_countries]`. Convolutional kernel for
      calculating fatalities, output from `make_conv_fatality_rate`.
  Returns:
    predicted_deaths: Array of shape `[total_days, batch_size, num_countries]`.
      (Batched) predicted number of deaths over time and by country.
  """
  # Multiply the number of infections on day j by the probability of death
  # on day i given infection on day j, and sum over j. This yields the expected
  result_remainder = tf.einsum(
      'i...j,kij->k...j', predicted_infections, conv_fatality_rate) * ifr_noise

  # Concatenate the result with a vector of zeros so that the first day is
  # included.
  result_temp = 1e-15 * predicted_infections[:1]
  return tf.concat([result_temp, result_remainder], axis=0)

1.2パラメータ値よりも前

ここでは、モデルパラメーターに対する共同事前分布を定義します。パラメータ値の多くは独立していると想定されているため、事前分布は次のように表すことができます。

$ \ text p(\ tau、y、\ psi、\ kappa、\ mu、\ alpha)= \ text p(\ tau)\ text p(y | \ tau)\ text p(\ psi)\ text p( \ kappa)\ text p(\ mu | \ kappa)\ text p(\ alpha)\ text p(\ epsilon)$

その中で:

  • $ \ tau $は、国ごとの初期ケース数に対する指数分布の共有レートパラメーターです。$ y = y_1、... y _ {\ text {num_countries}} $。
  • $ \ psi $は、死亡数の負の二項分布のパラメーターです。
  • $ \ kappa $は、各国の初期再生産数に対するHalfNormal分布の共有スケールパラメーターです。$ \ mu = \ mu_1、...、\ mu _ {\ text {num_countries}} $(追加のケースの数を示します)各感染者から送信されます)。
  • $ \ alpha = \ alpha_1、...、\ alpha_6 $は、6つの介入のそれぞれの有効性です。
  • $ \ epsilon $(著者のStanコードにちなんで、コードではifr_noiseと呼ばれます)は、感染致死率(IFR)のノイズです。

このモデルをTFPJointDistributionとして表現します。これは、確率的グラフィカルモデルの表現を可能にするTFP分布の一種です。

def make_jd_prior(num_countries, num_interventions):
  return tfd.JointDistributionSequentialAutoBatched([
      # Rate parameter for the distribution of initial cases (tau).
      tfd.Exponential(rate=tf.cast(0.03, DTYPE)),

      # Initial cases for each country.
      lambda tau: tfd.Sample(
          tfd.Exponential(rate=tf.cast(1, DTYPE) / tau),
          sample_shape=num_countries),

      # Parameter in Negative Binomial model for deaths (psi).
      tfd.HalfNormal(scale=tf.cast(5, DTYPE)),

      # Parameter in the distribution over the initial reproduction number, R_0
      # (kappa).
      tfd.HalfNormal(scale=tf.cast(0.5, DTYPE)),

      # Initial reproduction number, R_0, for each country (mu).
      lambda kappa: tfd.Sample(
          tfd.TruncatedNormal(loc=3.28, scale=kappa, low=1e-5, high=1e5),
          sample_shape=num_countries),

      # Impact of interventions (alpha; shared for all countries).
      tfd.Sample(
          tfd.Gamma(tf.cast(0.1667, DTYPE), 1), sample_shape=num_interventions),

      # Multiplicative noise in Infection Fatality Rate.
      tfd.Sample(
          tfd.TruncatedNormal(
              loc=tf.cast(1., DTYPE), scale=0.1, low=1e-5, high=1e5),
              sample_shape=num_countries)
  ])

1.3パラメータ値を条件とする観察された死亡の可能性

尤度モデルは$ p(\ text {deaths} | \ tau、y、\ psi、\ kappa、\ mu、\ alpha、\ epsilon)$を表します。これは、パラメーターを条件として感染数と予想死亡数のモデルを適用し、実際の死亡は負の二項分布に従うと想定しています。

def make_likelihood_fn(
    intervention_indicators, population, deaths,
    infection_fatality_rate, initial_days, total_days):

  # Create a mask for the initial days of simulated data, as they are not
  # counted in the likelihood.
  observed_deaths = tf.constant(deaths.T[np.newaxis, ...], dtype=DTYPE)
  mask_temp = deaths != -1
  mask_temp[:, :START_DAYS] = False
  observed_deaths_mask = tf.constant(mask_temp.T[np.newaxis, ...])

  conv_serial_interval = make_conv_serial_interval(initial_days, total_days)
  conv_fatality_rate = make_conv_fatality_rate(
      infection_fatality_rate, total_days)

  def likelihood_fn(tau, initial_cases, psi, kappa, mu, alpha_hier, ifr_noise):
    # Run models for infections and expected deaths
    predicted_infections = predict_infections(
        intervention_indicators, population, initial_cases, mu, alpha_hier,
        conv_serial_interval, initial_days, total_days)
    e_deaths_all_countries = predict_deaths(
        predicted_infections, ifr_noise, conv_fatality_rate)

    # Construct the Negative Binomial distribution for deaths by country.
    mu_m = tf.transpose(e_deaths_all_countries, [1, 0, 2])
    psi_m = psi[..., tf.newaxis, tf.newaxis]
    probs = tf.clip_by_value(mu_m / (mu_m + psi_m), 1e-9, 1.)
    likelihood_elementwise = tfd.NegativeBinomial(
        total_count=psi_m, probs=probs).log_prob(observed_deaths)
    return tf.reduce_sum(
        tf.where(observed_deaths_mask,
                likelihood_elementwise,
                tf.zeros_like(likelihood_elementwise)),
        axis=[-2, -1])

  return likelihood_fn

1.4感染による死亡の確率

このセクションでは、感染後の日の死亡数の分布を計算します。感染から死亡までの時間は、感染から発病までの時間と発症から死亡までの時間を表す2つのガンマ変量の合計であると想定しています。死亡までの時間の分布は、 Verityらの感染致死率データと組み合わされています。 (2020)感染後の日の死亡確率を計算する。

def daily_fatality_probability(infection_fatality_rate, total_days):
  """Computes the probability of death `d` days after infection."""

  # Convert from alternative Gamma parametrization and construct distributions
  # for number of days from infection to onset and onset to death.
  concentration1 = tf.cast((1. / 0.86)**2, DTYPE)
  rate1 = concentration1 / 5.1
  concentration2 = tf.cast((1. / 0.45)**2, DTYPE)
  rate2 = concentration2 / 18.8
  infection_to_onset = tfd.Gamma(concentration=concentration1, rate=rate1)
  onset_to_death = tfd.Gamma(concentration=concentration2, rate=rate2)

  # Create empirical distribution for number of days from infection to death.
  inf_to_death_dist = tfd.Empirical(
      infection_to_onset.sample([5e6]) + onset_to_death.sample([5e6]))

  # Subtract the CDF value at day i from the value at day i + 1 to compute the
  # probability of death on day i given infection on day 0, and given that
  # death (not recovery) is the outcome.
  times = np.arange(total_days + 1., dtype=DTYPE) + 0.5
  cdf = inf_to_death_dist.cdf(times).numpy()
  f_before_ifr = cdf[1:] - cdf[:-1]
  # Explicitly set the zeroth value to the empirical cdf at time 1.5, to include
  # the mass between time 0 and time .5.
  f_before_ifr[0] = cdf[1]

  # Multiply the daily fatality rates conditional on infection and eventual
  # death (f_before_ifr) by the infection fatality rates (probability of death
  # given intection) to obtain the probability of death on day i conditional
  # on infection on day 0.
  return infection_fatality_rate[..., np.newaxis] * f_before_ifr

def make_conv_fatality_rate(infection_fatality_rate, total_days):
  """Computes the probability of death on day `i` given infection on day `j`."""
  p_fatal_all_countries = daily_fatality_probability(
      infection_fatality_rate, total_days)

  # Use the probability of death d days after infection in each country
  # to build an array of shape [total_days - 1, total_days, num_countries],
  # where the element [i, j, c] is the probability of death on day i+1 given
  # infection on day j in country c.
  conv_fatality_rate = np.zeros(
      [total_days - 1, total_days, p_fatal_all_countries.shape[0]])
  for n in range(1, total_days):
    conv_fatality_rate[n - 1, 0:n, :] = (
        p_fatal_all_countries[:, n - 1::-1]).T
  return tf.constant(conv_fatality_rate, dtype=DTYPE)

1.5シリアル間隔

連続間隔は、一連の病気の伝染における連続した症例間の時間であり、ガンマ分布であると想定されます。シリアル間隔分布を使用して、$ i $日に感染した人が、以前に$ j $日に感染した人からウイルスをキャッチした確率を計算します( predict_infections conv_serial_interval引数)。

def make_conv_serial_interval(initial_days, total_days):
  """Construct the convolutional kernel for infection timing."""

  g = tfd.Gamma(tf.cast(1. / (0.62**2), DTYPE), 1./(6.5*0.62**2))
  g_cdf = g.cdf(np.arange(total_days, dtype=DTYPE))

  # Approximate the probability mass function for the number of days between
  # successive infections.
  serial_interval = g_cdf[1:] - g_cdf[:-1]

  # `conv_serial_interval` is an array of shape
  # [total_days - initial_days, total_days] in which entry [i, j] contains the
  # probability that an individual infected on day i + initial_days caught the
  # virus from someone infected on day j.
  conv_serial_interval = np.zeros([total_days - initial_days, total_days])
  for n in range(initial_days, total_days):
    conv_serial_interval[n - initial_days, 0:n] = serial_interval[n - 1::-1]
  return tf.constant(conv_serial_interval, dtype=DTYPE)

2データ前処理

COUNTRIES = [
    'Austria',
    'Belgium',
    'Denmark',
    'France',
    'Germany',
    'Italy',
    'Norway',
    'Spain',
    'Sweden',
    'Switzerland',
    'United_Kingdom'
]

2.1介入データの取得と前処理

2.2症例/死亡データを取得し、介入に参加する

2.3感染死亡率と人口データの取得と処理

2.4国固有のデータを前処理する

# Model up to 75 days of data for each country, starting 30 days before the
# tenth cumulative death.
START_DAYS = 30
MAX_DAYS = 102
COVARIATE_COLUMNS = any_intervention_list + ['any_intervention']

# Initialize an array for number of deaths.
deaths = -np.ones((num_countries, MAX_DAYS), dtype=DTYPE)

# Assuming every intervention is still inplace in the unobserved future
num_interventions = len(COVARIATE_COLUMNS)
intervention_indicators = np.ones((num_countries, MAX_DAYS, num_interventions))

first_days = {}
for i, c in enumerate(COUNTRIES):
  c_data = data.loc[c]

  # Include data only after 10th death in a country.
  mask = c_data['deaths'].cumsum() >= 10

  # Get the date that the epidemic starts in a country.
  first_day = c_data.index[mask][0] - pd.to_timedelta(START_DAYS, 'days')
  c_data = c_data.truncate(before=first_day)

  # Truncate the data after 28 March 2020 for comparison with Flaxman et al.
  c_data = c_data.truncate(after='2020-03-28')

  c_data = c_data.iloc[:MAX_DAYS]
  days_of_data = c_data.shape[0]
  deaths[i, :days_of_data] = c_data['deaths']
  intervention_indicators[i, :days_of_data] = c_data[
    COVARIATE_COLUMNS].to_numpy()
  first_days[c] = first_day

# Number of sequential days to seed infections after the 10th death in a
# country. (N0 in authors' Stan code.)
INITIAL_DAYS = 6

# Number of days of observed data plus days to forecast. (N2 in authors' Stan
# code.)
TOTAL_DAYS = deaths.shape[1]

3モデル推論

フラックスマン等。 (2020)スタンを使用して、ハミルトニアンモンテカルロ(HMC)とNo-Uターンサンプラー(NUTS)を使用してパラメーター後方からサンプリングしました。

ここでは、デュアル平均ステップサイズ適応でHMCを適用します。事前調整と初期化には、HMCのパイロット実行を使用します。

推論はGPU上で数分で実行されます。

3.1モデルの事前確率と可能性を構築する

jd_prior = make_jd_prior(num_countries, num_interventions)
likelihood_fn = make_likelihood_fn(
    intervention_indicators, population_value, deaths,
    infection_fatality_rate, INITIAL_DAYS, TOTAL_DAYS)

3.2ユーティリティ

def get_bijectors_from_samples(samples, unconstraining_bijectors, batch_axes):
  """Fit bijectors to the samples of a distribution.

  This fits a diagonal covariance multivariate Gaussian transformed by the
  `unconstraining_bijectors` to the provided samples. The resultant
  transformation can be used to precondition MCMC and other inference methods.
  """
  state_std = [    
      tf.math.reduce_std(bij.inverse(x), axis=batch_axes)
      for x, bij in zip(samples, unconstraining_bijectors)
  ]
  state_mu = [
      tf.math.reduce_mean(bij.inverse(x), axis=batch_axes)
      for x, bij in zip(samples, unconstraining_bijectors)
  ]
  return [tfb.Chain([cb, tfb.Shift(sh), tfb.Scale(sc)])
          for cb, sh, sc in zip(unconstraining_bijectors, state_mu, state_std)]

def generate_init_state_and_bijectors_from_prior(nchain, unconstraining_bijectors):
  """Creates an initial MCMC state, and bijectors from the prior."""
  prior_samples = jd_prior.sample(4096)

  bijectors = get_bijectors_from_samples(
      prior_samples, unconstraining_bijectors, batch_axes=0)

  init_state = [
    bij(tf.zeros([nchain] + list(s), DTYPE))
    for s, bij in zip(jd_prior.event_shape, bijectors)
  ]

  return init_state, bijectors
@tf.function(autograph=False, experimental_compile=True)
def sample_hmc(
    init_state,
    step_size,
    target_log_prob_fn,
    unconstraining_bijectors,
    num_steps=500,
    burnin=50,
    num_leapfrog_steps=10):

    def trace_fn(_, pkr):
        return {
            'target_log_prob': pkr.inner_results.inner_results.accepted_results.target_log_prob,
            'diverging': ~(pkr.inner_results.inner_results.log_accept_ratio > -1000.),
            'is_accepted': pkr.inner_results.inner_results.is_accepted,
            'step_size': [tf.exp(s) for s in pkr.log_averaging_step],
        }

    hmc = tfp.mcmc.HamiltonianMonteCarlo(
        target_log_prob_fn,
        step_size=step_size,
        num_leapfrog_steps=num_leapfrog_steps)

    hmc = tfp.mcmc.TransformedTransitionKernel(
        inner_kernel=hmc,
        bijector=unconstraining_bijectors)

    hmc = tfp.mcmc.DualAveragingStepSizeAdaptation(
        hmc,
        num_adaptation_steps=int(burnin * 0.8),
        target_accept_prob=0.8,
        decay_rate=0.5)

    # Sampling from the chain.
    return tfp.mcmc.sample_chain(
        num_results=burnin + num_steps,
        current_state=init_state,
        kernel=hmc,
        trace_fn=trace_fn)

3.3イベントスペースバイジェクターを定義する

HMCは、等方性多変量ガウス分布からサンプリングする場合に最も効率的であるため( Mangoubi&Smith(2017) )、最初のステップは、ターゲット密度を可能な限りそのように見えるように事前調整することです。

何よりもまず、制約付き(たとえば、非負)変数を制約なしの空間に変換します。これはHMCが必要とします。さらに、SinhArcsinhバイジェクターを使用して、変換されたターゲット密度のテールの重さを操作します。これらはおおよそ$ e ^ {-x ^ 2} $として減少する必要があります。

unconstraining_bijectors = [
    tfb.Chain([tfb.Scale(tf.constant(1 / 0.03, DTYPE)), tfb.Softplus(),
                tfb.SinhArcsinh(tailweight=tf.constant(1.85, DTYPE))]), # tau
    tfb.Chain([tfb.Scale(tf.constant(1 / 0.03, DTYPE)), tfb.Softplus(),
                tfb.SinhArcsinh(tailweight=tf.constant(1.85, DTYPE))]), # initial_cases
    tfb.Softplus(), # psi
    tfb.Softplus(), # kappa
    tfb.Softplus(), # mu
    tfb.Chain([tfb.Scale(tf.constant(0.4, DTYPE)), tfb.Softplus(),
                tfb.SinhArcsinh(skewness=tf.constant(-0.2, DTYPE), tailweight=tf.constant(2., DTYPE))]), # alpha
    tfb.Softplus(), # ifr_noise
]

3.4HMCパイロットラン

最初に、変換された空間で0から初期化された、事前条件付きのHMCを実行します。チェーンを初期化するために以前のサンプルを使用しません。実際には、数値が不十分なためにチェーンがスタックすることがよくあります。

%%time

nchain = 32

target_log_prob_fn = lambda *x: jd_prior.log_prob(*x) + likelihood_fn(*x)
init_state, bijectors = generate_init_state_and_bijectors_from_prior(nchain, unconstraining_bijectors)

# Each chain gets its own step size.
step_size = [tf.fill([nchain] + [1] * (len(s.shape) - 1), tf.constant(0.01, DTYPE)) for s in init_state]

burnin = 200
num_steps = 100

pilot_samples, pilot_sampler_stat = sample_hmc(
    init_state,
    step_size,
    target_log_prob_fn,
    bijectors,
    num_steps=num_steps,
    burnin=burnin,
    num_leapfrog_steps=10)
CPU times: user 56.8 s, sys: 2.34 s, total: 59.1 s
Wall time: 1min 1s

3.5パイロットサンプルを視覚化する

スタックチェーンと目を見張るようなコンバージェンスを探しています。ここで正式な診断を行うことができますが、パイロット実行であるため、これはそれほど必要ではありません。

import arviz as az
az.style.use('arviz-darkgrid')
var_name = ['tau', 'initial_cases', 'psi', 'kappa', 'mu', 'alpha', 'ifr_noise']

pilot_with_warmup = {k: np.swapaxes(v.numpy(), 1, 0)
                     for k, v in zip(var_name, pilot_samples)}

ウォームアップ中に発散が観察されます。これは主に、二重平均化ステップサイズの適応が最適なステップサイズの非常に積極的な検索を使用するためです。適応がオフになると、発散もなくなります。

az_trace = az.from_dict(posterior=pilot_with_warmup,
                        sample_stats={'diverging': np.swapaxes(pilot_sampler_stat['diverging'].numpy(), 0, 1)})
az.plot_trace(az_trace, combined=True, compact=True, figsize=(12, 8));

png

plt.plot(pilot_sampler_stat['step_size'][0]);

png

3.6HMCを実行する

原則として、パイロットサンプルを最終分析に使用できますが(収束を得るために長時間実行した場合)、別のHMC実行を開始する方が少し効率的です。今回は、パイロットサンプルによって前処理および初期化されます。

%%time

burnin = 50
num_steps = 200

bijectors = get_bijectors_from_samples([s[burnin:] for s in pilot_samples],
                                       unconstraining_bijectors=unconstraining_bijectors,
                                       batch_axes=(0, 1))

samples, sampler_stat = sample_hmc(
    [s[-1] for s in pilot_samples],
    [s[-1] for s in pilot_sampler_stat['step_size']],
    target_log_prob_fn,
    bijectors,
    num_steps=num_steps,
    burnin=burnin,
    num_leapfrog_steps=20)
CPU times: user 1min 26s, sys: 3.88 s, total: 1min 30s
Wall time: 1min 32s
plt.plot(sampler_stat['step_size'][0]);

png

3.7サンプルを視覚化する

import arviz as az
az.style.use('arviz-darkgrid')
var_name = ['tau', 'initial_cases', 'psi', 'kappa', 'mu', 'alpha', 'ifr_noise']

posterior = {k: np.swapaxes(v.numpy()[burnin:], 1, 0)
             for k, v in zip(var_name, samples)}
posterior_with_warmup = {k: np.swapaxes(v.numpy(), 1, 0)
             for k, v in zip(var_name, samples)}

チェーンの要約を計算します。 1に近い高いESSとr_hatを探しています。

az.summary(posterior)
az_trace = az.from_dict(posterior=posterior_with_warmup,
                        sample_stats={'diverging': np.swapaxes(sampler_stat['diverging'].numpy(), 0, 1)})
az.plot_trace(az_trace, combined=True, compact=True, figsize=(12, 8));

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すべての次元にわたる自己相関関数を確認することは有益です。すぐにダウンするが、ネガティブになるほどで​​はない関数を探しています(これは、HMCが共振にぶつかることを示しており、エルゴード性に悪影響を及ぼし、バイアスを導入する可能性があります)。

with az.rc_context(rc={'plot.max_subplots': None}):
  az.plot_autocorr(posterior, combined=True, figsize=(12, 16), textsize=12);

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4結果

次のプロットは、Flaxman et al。の分析と同様に、$ R_t $の事後予測分布、死亡数、および感染数を分析します。 (2020)。

total_num_samples = np.prod(posterior['mu'].shape[:2])

# Calculate R_t given parameter estimates.
def rt_samples_batched(mu, intervention_indicators, alpha):
  linear_prediction = tf.reduce_sum(
      intervention_indicators * alpha[..., np.newaxis, np.newaxis, :], axis=-1)
  rt_hat = mu[..., tf.newaxis] * tf.exp(-linear_prediction, name='rt')
  return rt_hat

alpha_hat = tf.convert_to_tensor(
    posterior['alpha'].reshape(total_num_samples, posterior['alpha'].shape[-1]))
mu_hat = tf.convert_to_tensor(
    posterior['mu'].reshape(total_num_samples, num_countries))
rt_hat = rt_samples_batched(mu_hat, intervention_indicators, alpha_hat)
sampled_initial_cases = posterior['initial_cases'].reshape(
    total_num_samples, num_countries)
sampled_ifr_noise = posterior['ifr_noise'].reshape(
    total_num_samples, num_countries)
psi_hat = posterior['psi'].reshape([total_num_samples])

conv_serial_interval = make_conv_serial_interval(INITIAL_DAYS, TOTAL_DAYS)
conv_fatality_rate = make_conv_fatality_rate(infection_fatality_rate, TOTAL_DAYS)
pred_hat = predict_infections(
    intervention_indicators, population_value, sampled_initial_cases, mu_hat,
    alpha_hat, conv_serial_interval, INITIAL_DAYS, TOTAL_DAYS)
expected_deaths = predict_deaths(pred_hat, sampled_ifr_noise, conv_fatality_rate)

psi_m = psi_hat[np.newaxis, ..., np.newaxis]
probs = tf.clip_by_value(expected_deaths / (expected_deaths + psi_m), 1e-9, 1.)
predicted_deaths = tfd.NegativeBinomial(
    total_count=psi_m, probs=probs).sample()
# Predict counterfactual infections/deaths in the absence of interventions
no_intervention_infections = predict_infections(
    intervention_indicators,
    population_value,
    sampled_initial_cases,
    mu_hat,
    tf.zeros_like(alpha_hat),
    conv_serial_interval,
    INITIAL_DAYS, TOTAL_DAYS)

no_intervention_expected_deaths = predict_deaths(
    no_intervention_infections, sampled_ifr_noise, conv_fatality_rate)
probs = tf.clip_by_value(
    no_intervention_expected_deaths / (no_intervention_expected_deaths + psi_m),
    1e-9, 1.)
no_intervention_predicted_deaths = tfd.NegativeBinomial(
    total_count=psi_m, probs=probs).sample()

4.1介入の有効性

Flaxmanらの図4と同様。 (2020)。

def intervention_effectiveness(alpha):

  alpha_adj = 1. - np.exp(-alpha + np.log(1.05) / 6.)
  alpha_adj_first = (

      1. - np.exp(-alpha - alpha[..., -1:] + np.log(1.05) / 6.))

  fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=[12, 6])
  intervention_perm = [2, 1, 3, 4, 0]
  percentile_vals = [2.5, 97.5]
  jitter = .2

  for ind in range(5):
    first_low, first_high = tfp.stats.percentile(
        alpha_adj_first[..., ind], percentile_vals)
    low, high = tfp.stats.percentile(
        alpha_adj[..., ind], percentile_vals)

    p_ind = intervention_perm[ind]
    ax.hlines(p_ind, low, high, label='Later Intervention', colors='g')
    ax.scatter(alpha_adj[..., ind].mean(), p_ind, color='g')
    ax.hlines(p_ind + jitter, first_low, first_high,
              label='First Intervention', colors='r')
    ax.scatter(alpha_adj_first[..., ind].mean(), p_ind + jitter, color='r')

    if ind == 0:
      plt.legend(loc='lower right')
  ax.set_yticks(range(5))
  ax.set_yticklabels(
      [any_intervention_list[intervention_perm.index(p)] for p in range(5)])
  ax.set_xlim([-0.01, 1.])
  r = fig.patch
  r.set_facecolor('white') 

intervention_effectiveness(alpha_hat)

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4.2国別の感染、死亡、およびR_t

Flaxmanらの図2と同様です。 (2020)。

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4.3介入の有無による1日あたりの予測/予測死亡数

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