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こんにちは、多くの世界

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このチュートリアルでは、古典的なニューラルネットワークがキュービットのキャリブレーションエラーを修正する方法を学習します。これは、Noisy Intermediate Scale Quantum(NISQ)回路を作成、編集、および呼び出すためのPythonフレームワークであるCirqを紹介し、 CirqがTensorFlow Quantumとどのようにインターフェースするかを示します。

セットアップ

pip install -q tensorflow==2.1.0

TensorFlow Quantumをインストールします。

pip install -q tensorflow-quantum
ERROR: After October 2020 you may experience errors when installing or updating packages. This is because pip will change the way that it resolves dependency conflicts.

We recommend you use --use-feature=2020-resolver to test your packages with the new resolver before it becomes the default.

tensorflow-metadata 0.23.0 requires absl-py<0.9,>=0.7, but you'll have absl-py 0.9.0 which is incompatible.
google-api-core 1.22.1 requires protobuf>=3.12.0, but you'll have protobuf 3.8.0 which is incompatible.

次に、TensorFlowとモジュールの依存関係をインポートします。

import tensorflow as tf
import tensorflow_quantum as tfq

import cirq
import sympy
import numpy as np

# visualization tools
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from cirq.contrib.svg import SVGCircuit

1.基本

1.1 Cirqとパラメーター化された量子回路

TensorFlow Quantum(TFQ)を調べる前に、 Cirqの基本をいくつか見てみましょう。 Cirqは、Googleの量子コンピューティング用のPythonライブラリです。これを使用して、静的ゲートやパラメーター化されたゲートを含む回路を定義します。

Cirqは、 SymPyシンボルを使用して自由パラメーターを表します。

a, b = sympy.symbols('a b')

次のコードは、パラメーターを使用して2キュービット回路を作成します。

# Create two qubits
q0, q1 = cirq.GridQubit.rect(1, 2)

# Create a circuit on these qubits using the parameters you created above.
circuit = cirq.Circuit(
    cirq.rx(a).on(q0),
    cirq.ry(b).on(q1), cirq.CNOT(control=q0, target=q1))

SVGCircuit(circuit)
findfont: Font family ['Arial'] not found. Falling back to DejaVu Sans.

svg

回路を評価するには、 cirq.Simulatorインターフェイスを使用できます。 cirq.ParamResolverオブジェクトを渡すことにより、回路内の自由パラメーターを特定の数値にcirq.ParamResolverます。次のコードは、パラメーター化された回路の生の状態ベクトル出力を計算します。

# Calculate a state vector with a=0.5 and b=-0.5.
resolver = cirq.ParamResolver({a: 0.5, b: -0.5})
output_state_vector = cirq.Simulator().simulate(circuit, resolver).final_state
output_state_vector
array([ 0.9387913 +0.j        , -0.23971277+0.j        ,

        0.        +0.06120872j,  0.        -0.23971277j], dtype=complex64)

状態ベクトルは、シミュレーション以外では直接アクセスできません(上の出力の複素数に注意してください)。物理的に現実的にするには、状態ベクトルを古典的なコンピューターが理解できる実数に変換する測定を指定する必要があります。 Cirqは、 Pauli演算子 $ \ hat {X} $、$ \ hat {Y} $、および$ \ hat {Z} $の組み合わせを使用して測定を指定します。例として、次のコードは、シミュレーションした状態ベクトルの$ \ hat {Z} _0 $および$ \ frac {1} {2} \ hat {Z} _0 + \ hat {X} _1 $を測定します。

z0 = cirq.Z(q0)

qubit_map={q0: 0, q1: 1}

z0.expectation_from_wavefunction(output_state_vector, qubit_map).real
0.8775825500488281
z0x1 = 0.5 * z0 + cirq.X(q1)

z0x1.expectation_from_wavefunction(output_state_vector, qubit_map).real
-0.04063427448272705

1.2テンソルとしての量子回路

TensorFlow Quantum(TFQ)は、Cirqオブジェクトをテンソルに変換する関数であるtfq.convert_to_tensor提供します。これにより、Cirqオブジェクトを量子レイヤー量子 opに送信できます。この関数は、Cirq CircuitsとCirq Paulisのリストまたは配列で呼び出すことができます。

# Rank 1 tensor containing 1 circuit.
circuit_tensor = tfq.convert_to_tensor([circuit])

print(circuit_tensor.shape)
print(circuit_tensor.dtype)
(1,)
<dtype: 'string'>

これは、Cirqオブジェクトを、 tfq操作が必要に応じてデコードするtf.stringテンソルとしてエンコードします。

# Rank 1 tensor containing 2 Pauli operators.
pauli_tensor = tfq.convert_to_tensor([z0, z0x1])
pauli_tensor.shape
TensorShape([2])

1.3回路シミュレーションのバッチ処理

TFQは、期待値、サンプル、および状態ベクトルを計算する方法を提供します。とりあえず、 期待値に注目しましょう。

期待値を計算するための最高レベルのインターフェースは、 tfq.layers.Expectationであるtfq.layers.Expectationレイヤーtf.keras.Layer 。最も単純な形式では、この層は多くのcirq.ParamResolversパラメーター化された回路をシミュレートすることと同等です。ただし、TFQではTensorFlowセマンティクスに従ってバッチ処理を行うことができ、回路は効率的なC ++コードを使用してシミュレーションされます。

値のバッチを作成しabパラメータとbパラメータを置き換えます。

batch_vals = np.array(np.random.uniform(0, 2 * np.pi, (5, 2)), dtype=np.float32)

Cirqのパラメーター値に対する回路実行のバッチ処理にはループが必要です。

cirq_results = []
cirq_simulator = cirq.Simulator()

for vals in batch_vals:
    resolver = cirq.ParamResolver({a: vals[0], b: vals[1]})
    final_state = cirq_simulator.simulate(circuit, resolver).final_state
    cirq_results.append(
        [z0.expectation_from_wavefunction(final_state, {
            q0: 0,
            q1: 1
        }).real])

print('cirq batch results: \n {}'.format(np.array(cirq_results)))
cirq batch results: 
 [[-0.83266681]
 [ 0.99945712]
 [-0.93167216]
 [-0.0446538 ]
 [ 0.81493288]]

TFQでは同じ操作が簡略化されています。

tfq.layers.Expectation()(circuit,
                         symbol_names=[a, b],
                         symbol_values=batch_vals,
                         operators=z0)
<tf.Tensor: shape=(5, 1), dtype=float32, numpy=
array([[-0.83266693],
       [ 0.9994572 ],
       [-0.9316722 ],
       [-0.04465387],
       [ 0.81493276]], dtype=float32)>

2.ハイブリッド量子古典的最適化

基本を理解したところで、TensorFlow Quantumを使用してハイブリッド量子-古典的ニューラルネットを構築しましょう。古典的なニューラルネットをトレーニングして、単一のキュービットを制御します。制御は最適化され、 0または1状態のキュービットを正しく準備し、シミュレーションされた系統的キャリブレーションエラーを克服します。この図は、アーキテクチャを示しています。

ニューラルネットワークがなくても、これは簡単に解決できる問題ですが、テーマはTFQを使用して解決できる実際の量子制御問題に似ています。 tfq.layers.ControlledPQC (Parametrized Quantum Circuit)レイヤーを使用した量子古典計算のエンドツーエンドの例をtf.keras.Modelます。

このチュートリアルの実装では、これはアーキテクチャが3つの部分に分かれています。

  • 入力回路またはデータポイント回路 :最初の3つの$ R $ゲート。
  • 制御回路 :他の3つの$ R $ゲート。
  • コントローラー :制御回路のパラメーターを設定する古典的なニューラルネットワーク。

2.1制御回路の定義

上の図に示すように、学習可能なシングルビットローテーションを定義します。これは私たちの制御回路に対応します。

# Parameters that the classical NN will feed values into.
control_params = sympy.symbols('theta_1 theta_2 theta_3')

# Create the parameterized circuit.
qubit = cirq.GridQubit(0, 0)
model_circuit = cirq.Circuit(
    cirq.rz(control_params[0])(qubit),
    cirq.ry(control_params[1])(qubit),
    cirq.rx(control_params[2])(qubit))

SVGCircuit(model_circuit)

svg

2.2コントローラー

次に、コントローラーネットワークを定義します。

# The classical neural network layers.
controller = tf.keras.Sequential([
    tf.keras.layers.Dense(10, activation='elu'),
    tf.keras.layers.Dense(3)
])

コマンドのバッチが与えられると、コントローラーは制御対象回路の制御信号のバッチを出力します。

コントローラはランダムに初期化されるため、これらの出力はまだ役に立ちません。

controller(tf.constant([[0.0],[1.0]])).numpy()
array([[0.        , 0.        , 0.        ],
       [0.54516   , 0.22012806, 0.09697416]], dtype=float32)

2.3コントローラーを回路に接続する

tfqを使用して、コントローラーを制御された回路に単一のkeras.Modelとして接続します。

このスタイルのモデル定義の詳細については、 Keras Functional APIガイドを参照してください。

まず、モデルへの入力を定義します。

# This input is the simulated miscalibration that the model will learn to correct.
circuits_input = tf.keras.Input(shape=(),
                                # The circuit-tensor has dtype `tf.string` 
                                dtype=tf.string,
                                name='circuits_input')

# Commands will be either `0` or `1`, specifying the state to set the qubit to.
commands_input = tf.keras.Input(shape=(1,),
                                dtype=tf.dtypes.float32,
                                name='commands_input')

次に、これらの入力に演算を適用して、計算を定義します。

dense_2 = controller(commands_input)

# TFQ layer for classically controlled circuits.
expectation_layer = tfq.layers.ControlledPQC(model_circuit,
                                             # Observe Z
                                             operators = cirq.Z(qubit))
expectation = expectation_layer([circuits_input, dense_2])

次に、この計算をtf.keras.Modelとしてパッケージ化します。

# The full Keras model is built from our layers.
model = tf.keras.Model(inputs=[circuits_input, commands_input],
                       outputs=expectation)

ネットワークアーキテクチャは、以下のモデルのプロットで示されています。このモデルプロットをアーキテクチャ図と比較して、正確性を確認します。

tf.keras.utils.plot_model(model, show_shapes=True, dpi=70)

png

このモデルには2つの入力があります。コントローラーのコマンドと、コントローラーが出力を修正しようとしている入力回路です。

2.4データセット

モデルは、各コマンドに対して$ \ hat {Z} $の正しい正しい測定値を出力しようとします。コマンドと正しい値を以下に定義します。

# The command input values to the classical NN.
commands = np.array([[0], [1]], dtype=np.float32)

# The desired Z expectation value at output of quantum circuit.
expected_outputs = np.array([[1], [-1]], dtype=np.float32)

これは、このタスクのトレーニングデータセット全体ではありません。データセット内の各データポイントには、入力回路も必要です。

2.4入力回路定義

以下の入力回路は、モデルが修正を学習するランダムなミスキャリブレーションを定義します。

random_rotations = np.random.uniform(0, 2 * np.pi, 3)
noisy_preparation = cirq.Circuit(
  cirq.rx(random_rotations[0])(qubit),
  cirq.ry(random_rotations[1])(qubit),
  cirq.rz(random_rotations[2])(qubit)
)
datapoint_circuits = tfq.convert_to_tensor([
  noisy_preparation
] * 2)  # Make two copied of this circuit

回路には2つのコピーがあり、各データポイントに1つずつあります。

datapoint_circuits.shape
TensorShape([2])

2.5トレーニング

入力を定義すると、 tfqモデルをテスト実行できます。

model([datapoint_circuits, commands]).numpy()
array([[ 0.00428568],
       [-0.13666134]], dtype=float32)

次に、標準のトレーニングプロセスを実行して、これらの値をexpected_outputs向けて調整します。

optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=0.05)
loss = tf.keras.losses.MeanSquaredError()
model.compile(optimizer=optimizer, loss=loss)
history = model.fit(x=[datapoint_circuits, commands],
                    y=expected_outputs,
                    epochs=30,
                    verbose=0)
plt.plot(history.history['loss'])
plt.title("Learning to Control a Qubit")
plt.xlabel("Iterations")
plt.ylabel("Error in Control")
plt.show()

png

このプロットから、ニューラルネットワークが系統的なミスキャリブレーションを克服することを学んだことがわかります。

2.6出力を確認する

次に、訓練されたモデルを使用して、キュービットのキャリブレーションエラーを修正します。 Cirqの場合:

def check_error(command_values, desired_values):
  """Based on the value in `command_value` see how well you could prepare
  the full circuit to have `desired_value` when taking expectation w.r.t. Z."""
  params_to_prepare_output = controller(command_values).numpy()
  full_circuit = noisy_preparation + model_circuit

  # Test how well you can prepare a state to get expectation the expectation
  # value in `desired_values`
  for index in [0, 1]:
    state = cirq_simulator.simulate(
        full_circuit,
        {s:v for (s,v) in zip(control_params, params_to_prepare_output[index])}
    ).final_state
    expectation = z0.expectation_from_wavefunction(state, {qubit: 0}).real
    print(f'For a desired output (expectation) of {desired_values[index]} with'
          f' noisy preparation, the controller\nnetwork found the following '
          f'values for theta: {params_to_prepare_output[index]}\nWhich gives an'
          f' actual expectation of: {expectation}\n')


check_error(commands, expected_outputs)
For a desired output (expectation) of [1.] with noisy preparation, the controller
network found the following values for theta: [ 0.6296288  1.1365356 -1.5962224]
Which gives an actual expectation of: 0.9621249437332153

For a desired output (expectation) of [-1.] with noisy preparation, the controller
network found the following values for theta: [1.0543389 1.18372   0.7693251]
Which gives an actual expectation of: -0.9606054425239563


トレーニング中の損失関数の値は、モデルがどれだけうまく学習しているかの大まかなアイデアを提供します。損失が少ないほど、上記のセルの期待値はdesired_valuesます。パラメータ値にそれほど関心がない場合は、常にtfqを使用して上記の出力を確認できます。

model([datapoint_circuits, commands])
<tf.Tensor: shape=(2, 1), dtype=float32, numpy=
array([[ 0.9621245 ],
       [-0.96060544]], dtype=float32)>

3異なる演算子の固有状態を準備することを学ぶ

1と0に対応する$ \ pm \ hat {Z} $固有状態の選択は任意でした。簡単に、1を$ + \ hat {Z} $固有状態に対応させ、0を$-\ hat {X} $固有状態に対応させることもできます。これを行う1つの方法は、以下の図に示すように、コマンドごとに異なる測定演算子を指定することです。

これには、 tfq.layers.Expectation使用が必要tfq.layers.Expectation 。入力が大きくなり、3つのオブジェクト(回路、コマンド、および演算子)が含まれるようになりました。出力はまだ期待値です。

3.1新しいモデルの定義

このタスクを実行するためのモデルを見てみましょう。

# Define inputs.
commands_input = tf.keras.layers.Input(shape=(1),
                                       dtype=tf.dtypes.float32,
                                       name='commands_input')
circuits_input = tf.keras.Input(shape=(),
                                # The circuit-tensor has dtype `tf.string` 
                                dtype=tf.dtypes.string,
                                name='circuits_input')
operators_input = tf.keras.Input(shape=(1,),
                                 dtype=tf.dtypes.string,
                                 name='operators_input')

コントローラネットワークは次のとおりです。

# Define classical NN.
controller = tf.keras.Sequential([
    tf.keras.layers.Dense(10, activation='elu'),
    tf.keras.layers.Dense(3)
])

keras.Modelを使用して、回路とコントローラーを1つのkeras.Modeltfq

dense_2 = controller(commands_input)

# Since you aren't using a PQC or ControlledPQC you must append
# your model circuit onto the datapoint circuit tensor manually.
full_circuit = tfq.layers.AddCircuit()(circuits_input, append=model_circuit)
expectation_output = tfq.layers.Expectation()(full_circuit,
                                              symbol_names=control_params,
                                              symbol_values=dense_2,
                                              operators=operators_input)

# Contruct your Keras model.
two_axis_control_model = tf.keras.Model(
    inputs=[circuits_input, commands_input, operators_input],
    outputs=[expectation_output])

3.2データセット

ここで、 model_circuitする各model_circuitについて測定する演算子も含めます。

# The operators to measure, for each command.
operator_data = tfq.convert_to_tensor([[cirq.X(qubit)], [cirq.Z(qubit)]])

# The command input values to the classical NN.
commands = np.array([[0], [1]], dtype=np.float32)

# The desired expectation value at output of quantum circuit.
expected_outputs = np.array([[1], [-1]], dtype=np.float32)

3.3トレーニング

これで新しい入力と出力が得られたので、ケラを使用してもう一度トレーニングできます。

optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=0.05)
loss = tf.keras.losses.MeanSquaredError()

two_axis_control_model.compile(optimizer=optimizer, loss=loss)

history = two_axis_control_model.fit(
    x=[datapoint_circuits, commands, operator_data],
    y=expected_outputs,
    epochs=30,
    verbose=1)
Train on 2 samples
Epoch 1/30
2/2 [==============================] - 1s 311ms/sample - loss: 1.0348
Epoch 2/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.6338
Epoch 3/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.4026
Epoch 4/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.3120
Epoch 5/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.2221
Epoch 6/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.1057
Epoch 7/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0341
Epoch 8/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0091
Epoch 9/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0020
Epoch 10/30
2/2 [==============================] - 0s 2ms/sample - loss: 6.2119e-04
Epoch 11/30
2/2 [==============================] - 0s 2ms/sample - loss: 0.0038
Epoch 12/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0114
Epoch 13/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0174
Epoch 14/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0158
Epoch 15/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0115
Epoch 16/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0119
Epoch 17/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0179
Epoch 18/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0245
Epoch 19/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0272
Epoch 20/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0247
Epoch 21/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0189
Epoch 22/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0125
Epoch 23/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0076
Epoch 24/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0047
Epoch 25/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0033
Epoch 26/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0025
Epoch 27/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0019
Epoch 28/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 0.0013
Epoch 29/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 8.3354e-04
Epoch 30/30
2/2 [==============================] - 0s 1ms/sample - loss: 5.6316e-04

plt.plot(history.history['loss'])
plt.title("Learning to Control a Qubit")
plt.xlabel("Iterations")
plt.ylabel("Error in Control")
plt.show()

png

損失関数がゼロになりました。

controllerはスタンドアロンモデルとして入手可能です。コントローラを呼び出し、各コマンド信号に対する応答を確認します。これらの出力をrandom_rotationsの内容と正しく比較するには、多少の作業がrandom_rotationsです。

controller.predict(np.array([0,1]))
array([[ 1.9317125 , -0.03036583, -0.46449944],
       [ 2.1391845 ,  1.4074974 , -0.42245713]], dtype=float32)