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FFJORD

TensorFlow.orgで表示 GoogleColabで実行 GitHubでソースを表示ノートブックをダウンロード

セットアップ

このデモで使用するパッケージを最初にインストールします。

pip install -q dm-sonnet

インポート(tf、随伴作用素を伴うtfpなど)

import numpy as np
import tqdm as tqdm
import sklearn.datasets as skd

# visualization
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import kde

# tf and friends
import tensorflow.compat.v2 as tf
import tensorflow_probability as tfp
import sonnet as snt
tf.enable_v2_behavior()

tfb = tfp.bijectors
tfd = tfp.distributions

def make_grid(xmin, xmax, ymin, ymax, gridlines, pts):
  xpts = np.linspace(xmin, xmax, pts)
  ypts = np.linspace(ymin, ymax, pts)
  xgrid = np.linspace(xmin, xmax, gridlines)
  ygrid = np.linspace(ymin, ymax, gridlines)
  xlines = np.stack([a.ravel() for a in np.meshgrid(xpts, ygrid)])
  ylines = np.stack([a.ravel() for a in np.meshgrid(xgrid, ypts)])
  return np.concatenate([xlines, ylines], 1).T

grid = make_grid(-3, 3, -3, 3, 4, 100)
/usr/local/lib/python3.6/dist-packages/statsmodels/tools/_testing.py:19: FutureWarning: pandas.util.testing is deprecated. Use the functions in the public API at pandas.testing instead.
  import pandas.util.testing as tm

視覚化のためのヘルパー関数

FFJORDバイジェクター

このコラボでは、Grathwohl、Willらによって論文で最初に提案されたFFJORDバイジェクターを示します。 arxivリンク

一言で言えば、そのようなアプローチの背後にある考え方は、既知の基本分布データ分布の間の対応を確立することです。

この接続を確立するには、次のことを行う必要があります

  1. 全単射マップを定義する$ \ mathcal {T} _ {\ theta}:\ mathbf {x} \ rightarrow \ mathbf {y} $、$ \ mathcal {T} _ {\ theta} ^ {1}:\ mathbf {y } \ rightarrow \ mathbf {x} $ベース分布が定義されているスペース$ \ mathcal {Y} $とデータドメインのスペース$ \ mathcal {X} $の間。
  2. 確率の概念を$ \ mathcal {X} $に転送するために、実行する変形を効率的に追跡します。

2番目の条件は、$ \ mathcal {X} $で定義された確率分布の次の式で形式化されます。

$$ \log p_{\mathbf{x} }(\mathbf{x})=\log p_{\mathbf{y} }(\mathbf{y})-\log \operatorname{det}\left|\frac{\partial \mathcal{T}_{\theta}(\mathbf{y})}{\partial \mathbf{y} }\right| $$

FFJORDバイジェクターは、変換を定義することでこれを実現します

$$ \mathcal{T_{\theta} }: \mathbf{x} = \mathbf{z}(t_{0}) \rightarrow \mathbf{y} = \mathbf{z}(t_{1}) \quad : \quad \frac{d \mathbf{z} }{dt} = \mathbf{f}(t, \mathbf{z}, \theta) $$

この変換は、状態$ \ mathbf {z} $の進化を記述する関数$ \ mathbf {f} $が適切に動作し、次の式を統合することでlog_det_jacobianを計算できるlog_det_jacobianlog_det_jacobianです。

$$ \log \operatorname{det}\left|\frac{\partial \mathcal{T}_{\theta}(\mathbf{y})}{\partial \mathbf{y} }\right| = -\int_{t_{0} }^{t_{1} } \operatorname{Tr}\left(\frac{\partial \mathbf{f}(t, \mathbf{z}, \theta)}{\partial \mathbf{z}(t)}\right) d t $$

このデモでは、FFJORDバイジェクターをトレーニングして、ガウス分布をmoonsデータセットで定義された分布にワープします。これは3つのステップで行われます。

  • 基本分布を定義する
  • FFJORDバイジェクターを定義する
  • データセットの正確な対数尤度を最小化する

まず、データを読み込みます

データセット

png

次に、ベースディストリビューションをインスタンス化します

base_loc = np.array([0.0, 0.0]).astype(np.float32)
base_sigma = np.array([0.8, 0.8]).astype(np.float32)
base_distribution = tfd.MultivariateNormalDiag(base_loc, base_sigma)

多層パーセプトロンを使用してstate_derivative_fnをモデルstate_derivative_fnます。

このデータセットには必要ありませんが、 state_derivative_fnを時間に依存させることはしばしば有益です。ここでは、 tをネットワークの入力に連結することでこれを実現します。

class MLP_ODE(snt.Module):
  """Multi-layer NN ode_fn."""
  def __init__(self, num_hidden, num_layers, num_output, name='mlp_ode'):
    super(MLP_ODE, self).__init__(name=name)
    self._num_hidden = num_hidden
    self._num_output = num_output
    self._num_layers = num_layers
    self._modules = []
    for _ in range(self._num_layers - 1):
      self._modules.append(snt.Linear(self._num_hidden))
      self._modules.append(tf.math.tanh)
    self._modules.append(snt.Linear(self._num_output))
    self._model = snt.Sequential(self._modules)

  def __call__(self, t, inputs):
    inputs = tf.concat([tf.broadcast_to(t, inputs.shape), inputs], -1)
    return self._model(inputs)

モデルとトレーニングパラメータ

次に、FFJORDバイジェクターのスタックを作成します。各bijectorが設けられているode_solve_fntrace_augmentation_fn 、それは自分だstate_derivative_fn彼らは異なる変換のシーケンスを表すように、モデル。

バイジェクターの構築

これで、 base_distributionstacked_ffjordをワープした結果であるTransformedDistributionを使用できます。

transformed_distribution = tfd.TransformedDistribution(
    distribution=base_distribution, bijector=stacked_ffjord)

次に、トレーニング手順を定義します。データの負の対数尤度を最小限に抑えるだけです。

トレーニング

サンプル

基本分布と変換された分布からサンプルをプロットします。

evaluation_samples = []
base_samples, transformed_samples = get_samples()
transformed_grid = get_transformed_grid()
evaluation_samples.append((base_samples, transformed_samples, transformed_grid))
WARNING:tensorflow:From /usr/local/lib/python3.6/dist-packages/tensorflow/python/ops/resource_variable_ops.py:1817: calling BaseResourceVariable.__init__ (from tensorflow.python.ops.resource_variable_ops) with constraint is deprecated and will be removed in a future version.
Instructions for updating:
If using Keras pass *_constraint arguments to layers.

panel_id = 0
panel_data = evaluation_samples[panel_id]
fig, axarray = plt.subplots(
  1, 4, figsize=(16, 6))
plot_panel(
    grid, panel_data[0], panel_data[2], panel_data[1], moons, axarray, False)
plt.tight_layout()

png

learning_rate = tf.Variable(LR, trainable=False)
optimizer = snt.optimizers.Adam(learning_rate)

for epoch in tqdm.trange(NUM_EPOCHS // 2):
  base_samples, transformed_samples = get_samples()
  transformed_grid = get_transformed_grid()
  evaluation_samples.append(
      (base_samples, transformed_samples, transformed_grid))
  for batch in moons_ds:
    _ = train_step(optimizer, batch)
  0%|          | 0/40 [00:00<?, ?it/s]
WARNING:tensorflow:From /usr/local/lib/python3.6/dist-packages/tensorflow_probability/python/math/ode/base.py:350: calling while_loop_v2 (from tensorflow.python.ops.control_flow_ops) with back_prop=False is deprecated and will be removed in a future version.
Instructions for updating:
back_prop=False is deprecated. Consider using tf.stop_gradient instead.
Instead of:
results = tf.while_loop(c, b, vars, back_prop=False)
Use:
results = tf.nest.map_structure(tf.stop_gradient, tf.while_loop(c, b, vars))

100%|██████████| 40/40 [07:00<00:00, 10.52s/it]

panel_id = -1
panel_data = evaluation_samples[panel_id]
fig, axarray = plt.subplots(
  1, 4, figsize=(16, 6))
plot_panel(grid, panel_data[0], panel_data[2], panel_data[1], moons, axarray)
plt.tight_layout()

png

学習率でより長くトレーニングすると、さらに改善されます。

この例では変換されていませんが、FFJORDバイジェクターはハッチンソンの確率的トレース推定をサポートしています。特定の推定量は、 trace_augmentation_fnを介して提供できます。同様に、カスタムode_solve_fn定義することにより、代替の積分器を使用できます。