MatrixSolveLs

یک یا چند مسئله حداقل مربعات خطی را حل می کند.

«ماتریس» یک تانسور شکل «[...، M، N]» است که بیشترین 2 بعد داخلی آن، ماتریس های واقعی یا پیچیده با اندازه «[M، N]» را تشکیل می دهند. «Rhs» تانسوری از همان نوع «ماتریس» و شکل «[...، M، K]» است. خروجی یک شکل تانسوری «[...، N، K]» است که در آن هر ماتریس خروجی هر یک از معادلات «ماتریس[...، :، :]» * «خروجی[...، :، :] را حل می کند. ` = `rhs[..., :, :]` به معنای حداقل مربعات.

ما از نماد زیر برای ماتریس (پیچیده) و سمت راست در دسته استفاده می کنیم:

«ماتریس»=\\(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\\)، «rhs»=\\(B \in \mathbb{C}^{m \times k}\\)، «output»=\\(X \in \mathbb{C}^{n \times k}\\)، «l2_regularizer»=\\(\lambda \in \mathbb{R}\\).

اگر «سریع» «درست» باشد، جواب با حل معادلات عادی با استفاده از تجزیه Cholesky محاسبه می‌شود. به طور خاص، اگر \\(m \ge n\\) پس \\(X = (A^H A + \lambda I)^{-1} A^H B\\)، که مشکل حداقل مربعات \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\\)را حل می کند. اگر \\(m \lt n\\) «خروجی» به عنوان \\(X = A^H (A A^H + \lambda I)^{-1} B\\)محاسبه می شود، که (برای \\(\lambda = 0\\)) راه حل حداقل هنجار برای سیستم خطی کمتر تعیین شده است، یعنی \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \mathbb{C}^{n \times k} } ||Z||_F^2 \\)، مشروط به \\(A Z = B\\). توجه داشته باشید که مسیر سریع فقط زمانی از نظر عددی پایدار است که \\(A\\) از نظر عددی رتبه کامل داشته باشد و دارای یک عدد شرط \\(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\\) یا \\(\lambda\\) به اندازه کافی بزرگ باشد.

اگر «سریع» «نادرست» باشد، از الگوریتمی بر اساس تجزیه متعامد کامل از نظر عددی قوی استفاده می‌شود. این راه حل حداقل مربعات حداقل هنجار را محاسبه می کند، حتی زمانی که \\(A\\) دارای رتبه ناقص باشد. این مسیر معمولاً 6-7 برابر کندتر از مسیر سریع است. اگر «سریع» «نادرست» باشد، «l2_regularizer» نادیده گرفته می‌شود.