MatrixSolveLs

Risolve uno o più problemi lineari ai minimi quadrati.

`matrice` è un tensore di forma `[..., M, N]` le cui 2 dimensioni più interne formano matrici reali o complesse di dimensione `[M, N]`. `Rhs` è un tensore dello stesso tipo di `matrice` e forma `[..., M, K]`. L'output è una forma tensore `[..., N, K]` in cui ciascuna matrice di output risolve ciascuna delle equazioni `matrice[..., :, :]` * `output[..., :, :] ` = `rhs[..., :, :]` nel senso dei minimi quadrati.

Usiamo la seguente notazione per la matrice (complessa) e i lati destri nel batch:

`matrix`=\\(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\\), `rhs`=\\(B \in \mathbb{C}^{m \times k}\\), `output`=\\(X \in \mathbb{C}^{n \times k}\\), `l2_regularizer`=\\(\lambda \in \mathbb{R}\\).

Se "veloce" è "Vero", la soluzione viene calcolata risolvendo le equazioni normali utilizzando la decomposizione di Cholesky. Nello specifico, se \\(m \ge n\\) allora \\(X = (A^H A + \lambda I)^{-1} A^H B\\), che risolve il problema dei minimi quadrati \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\\). Se \\(m \lt n\\) allora `output` viene calcolato come \\(X = A^H (A A^H + \lambda I)^{-1} B\\), che (per \\(\lambda = 0\\)) è la soluzione a norma minima per il sistema lineare sottodeterminato, ovvero \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \mathbb{C}^{n \times k} } ||Z||_F^2 \\), soggetto a \\(A Z = B\\). Si noti che il percorso veloce è numericamente stabile solo quando \\(A\\) ha il rango numericamente completo e ha un numero di condizione \\(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\\) o \\(\lambda\\) sufficientemente grande.

Se "veloce" è "falso" viene utilizzato un algoritmo basato sulla scomposizione ortogonale completa numericamente robusta. Questo calcola la soluzione dei minimi quadrati a norma minima, anche quando \\(A\\) ha un rango carente. Questo percorso è in genere 6-7 volte più lento del percorso veloce. Se "fast" è "False" allora "l2_regularizer" viene ignorato.