MatrixSolveLs

يحل واحدة أو أكثر من مسائل المربعات الصغرى الخطية.

`المصفوفة` هي موتر ذو شكل `[..., M, N]` يشكل بعداه الداخليان مصفوفات حقيقية أو معقدة بالحجم `[M, N]`. `Rhs` هو موتر من نفس نوع `المصفوفة` وشكله `[..., M, K]`. الناتج هو شكل موتر `[..., N, K]` حيث تحل كل مصفوفة مخرجات كل من المعادلات `matrix[..., :, :]` * `output[..., :, :] ` = `rhs[..., :, :]` بمعنى المربعات الصغرى.

نستخدم الترميز التالي للمصفوفة (المعقدة) والجوانب اليمنى في الدفعة:

`matrix`=\\(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\\), `rhs`=\\(B \in \mathbb{C}^{m \times k}\\), `output`=\\(X \in \mathbb{C}^{n \times k}\\), `l2_regularizer`=\\(\lambda \in \mathbb{R}\\).

إذا كانت قيمة "سريع" هي "صحيح"، فسيتم حساب الحل عن طريق حل المعادلات العادية باستخدام تحليل تشوليسكي. على وجه التحديد، إذا \\(m \ge n\\) ثم \\(X = (A^H A + \lambda I)^{-1} A^H B\\)، والذي يحل مشكلة المربعات الصغرى \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\\). إذا \\(m \lt n\\) فسيتم حساب "الإخراج" كـ \\(X = A^H (A A^H + \lambda I)^{-1} B\\)، والذي (لـ \\(\lambda = 0\\)) هو الحل المعياري الأدنى للنظام الخطي غير المحدد، على سبيل المثال \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \mathbb{C}^{n \times k} } ||Z||_F^2 \\)، يخضع لـ \\(A Z = B\\). لاحظ أن المسار السريع يكون مستقرًا عدديًا فقط عندما يكون \\(A\\) رتبة كاملة رقميًا وله رقم شرط \\(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\\) أو \\(\lambda\\) كبير بما يكفي.

إذا كانت قيمة `سريع` هي `خطأ`، فسيتم استخدام خوارزمية تعتمد على التحليل المتعامد الكامل القوي عدديًا. يقوم هذا بحساب حل المربعات الصغرى ذي القاعدة الدنيا، حتى عندما يكون \\(A\\) في المرتبة ناقصة. عادةً ما يكون هذا المسار أبطأ بمقدار 6 إلى 7 مرات من المسار السريع. إذا كانت قيمة `سريع` `خطأ`، فسيتم تجاهل `l2_regularizer`.