MatrixSolveLs

এক বা একাধিক রৈখিক ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র সমস্যা সমাধান করে।

`ম্যাট্রিক্স` হল একটি আকৃতির টেনসর `[..., M, N]` যার অভ্যন্তরীণ-সর্বাধিক 2টি মাত্রা আকারের বাস্তব বা জটিল ম্যাট্রিক্স `[M, N]` গঠন করে। `Rhs` হল `matrix` এবং আকৃতি `[..., M, K]` এর মতো একই ধরনের টেনসর। আউটপুট হল একটি টেনসর আকৃতি `[..., N, K]` যেখানে প্রতিটি আউটপুট ম্যাট্রিক্স প্রতিটি সমীকরণের সমাধান করে `ম্যাট্রিক্স[..., :, :]` * `আউটপুট[..., :, :] ` = `rhs[..., :, :]` সর্বনিম্ন বর্গ অর্থে।

আমরা ব্যাচে (জটিল) ম্যাট্রিক্স এবং ডানদিকের জন্য নিম্নলিখিত স্বরলিপি ব্যবহার করি:

`matrix`=\\(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\\), `rhs`=\\(B \in \mathbb{C}^{m \times k}\\), `output`=\\(X \in \mathbb{C}^{n \times k}\\), `l2_regularizer`=\\(\lambda \in \mathbb{R}\\)।

যদি `দ্রুত` `সত্য` হয়, তাহলে কোলেস্কি পচন ব্যবহার করে সাধারণ সমীকরণগুলো সমাধান করে সমাধান গণনা করা হয়। বিশেষভাবে, যদি \\(m \ge n\\) তাহলে \\(X = (A^H A + \lambda I)^{-1} A^H B\\), যা সর্বনিম্ন-বর্গক্ষেত্রের সমস্যা সমাধান করে \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\\)। যদি \\(m \lt n\\) হয় তাহলে `output` কে \\(X = A^H (A A^H + \lambda I)^{-1} B\\)হিসাবে গণনা করা হয়, যা (\\(\lambda = 0\\)এর জন্য) হল নিম্ন-নির্ধারিত রৈখিক সিস্টেমের সর্বনিম্ন-আদর্শ সমাধান, অর্থাৎ \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \mathbb{C}^{n \times k} } ||Z||_F^2 \\), সাপেক্ষে \\(A Z = B\\)। লক্ষ্য করুন যে দ্রুত পাথ শুধুমাত্র সংখ্যাগতভাবে স্থিতিশীল থাকে যখন \\(A\\) সংখ্যাগতভাবে পূর্ণ র‍্যাঙ্ক হয় এবং একটি শর্ত নম্বর থাকে \\(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\\) বা \\(\lambda\\) যথেষ্ট বড়।

যদি `দ্রুত` হয় `ফলস` একটি অ্যালগরিদম সংখ্যাগতভাবে শক্তিশালী সম্পূর্ণ অর্থোগোনাল পচনের উপর ভিত্তি করে ব্যবহার করা হয়। এটি সর্বনিম্ন-আদর্শ সর্বনিম্ন-বর্গ সমাধান গণনা করে, এমনকি যখন \\(A\\) র‍্যাঙ্কের ঘাটতি হয়। এই পথটি সাধারণত দ্রুত পথের তুলনায় 6-7 গুণ ধীর। যদি `দ্রুত` `ফলস` হয় তাহলে `l2_regularizer` উপেক্ষা করা হবে।