MatrixSolveLs

Решает одну или несколько линейных задач наименьших квадратов.

`Матрица` — это тензор формы `[..., M, N]`, два самых внутренних измерения которого образуют действительные или комплексные матрицы размера `[M, N]`. `Rhs` — тензор того же типа, что и `матрица`, и формы `[..., M, K]`. Выходные данные представляют собой тензорную форму `[..., N, K]`, где каждая выходная матрица решает каждое из уравнений `matrix[..., :, :]` * `output[..., :, :] ` = `rhs[..., :, :]` в смысле наименьших квадратов.

Мы используем следующие обозначения для (комплексной) матрицы и правых частей пакета:

`matrix`=\\(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\\), `rhs`=\\(B \in \mathbb{C}^{m \times k}\\), `output`=\\(X \in \mathbb{C}^{n \times k}\\), `l2_regularizer`=\\(\lambda \in \mathbb{R}\\).

Если «быстро» имеет значение «Истина», то решение вычисляется путем решения нормальных уравнений с использованием разложения Холецкого. В частности, если \\(m \ge n\\) то \\(X = (A^H A + \lambda I)^{-1} A^H B\\), что решает задачу наименьших квадратов \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\\). Если \\(m \lt n\\) , то `выход` вычисляется как \\(X = A^H (A A^H + \lambda I)^{-1} B\\), который (для \\(\lambda = 0\\)) является решением минимальной нормы недоопределенной линейной системы, т. е. \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \mathbb{C}^{n \times k} } ||Z||_F^2 \\), с учетом \\(A Z = B\\). Обратите внимание, что быстрый путь численно стабилен только тогда, когда \\(A\\) имеет числовой полный ранг и число обусловленности \\(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\\) или \\(\lambda\\) достаточно велико.

Если «быстрый» имеет значение «Ложь», используется алгоритм, основанный на численно устойчивом полном ортогональном разложении. Это вычисляет решение методом наименьших квадратов с минимальной нормой, даже если \\(A\\) имеет недостаточный ранг. Этот путь обычно в 6-7 раз медленнее, чем быстрый путь. Если `fast` имеет значение `False`, `l2_regularizer` игнорируется.