MatrixSolveLs

एक या अधिक रैखिक न्यूनतम-वर्ग समस्याओं को हल करता है।

`मैट्रिक्स` आकार का एक टेंसर है `[..., एम, एन]` जिसके आंतरिकतम 2 आयाम `[एम, एन]` आकार के वास्तविक या जटिल मैट्रिक्स बनाते हैं। `Rhs` `मैट्रिक्स` और आकार `[..., M, K]` के समान प्रकार का एक टेंसर है। आउटपुट एक टेंसर आकार `[..., N, K]` है जहां प्रत्येक आउटपुट मैट्रिक्स प्रत्येक समीकरण `matrix[..., :, :]` * `आउटपुट[..., :, :] को हल करता है ` = `rhs[..., :, :]` न्यूनतम वर्ग अर्थ में।

हम बैच में (जटिल) मैट्रिक्स और दाईं ओर के लिए निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करते हैं:

`मैट्रिक्स`=\\(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\\), `rhs`=\\(B \in \mathbb{C}^{m \times k}\\), `आउटपुट`=\\(X \in \mathbb{C}^{n \times k}\\), `l2_regularizer`=\\(\lambda \in \mathbb{R}\\)।

यदि `तेज़` `सत्य` है, तो समाधान की गणना चोलेस्की अपघटन का उपयोग करके सामान्य समीकरणों को हल करके की जाती है। विशेष रूप से, यदि \\(m \ge n\\) तो \\(X = (A^H A + \lambda I)^{-1} A^H B\\), जो न्यूनतम-वर्ग समस्या को हल करता है \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\\)। यदि \\(m \lt n\\) तो `आउटपुट` की गणना \\(X = A^H (A A^H + \lambda I)^{-1} B\\)के रूप में की जाती है, जो (\\(\lambda = 0\\)के लिए) कम-निर्धारित रैखिक प्रणाली के लिए न्यूनतम-मानक समाधान है, अर्थात \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \mathbb{C}^{n \times k} } ||Z||_F^2 \\), जो \\(A Z = B\\)के अधीन है।\(A Z = B\\). ध्यान दें कि तेज़ पथ केवल संख्यात्मक रूप से स्थिर होता है जब \\(A\\) संख्यात्मक रूप से पूर्ण रैंक होता है और इसकी स्थिति संख्या \\(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\\) या \\(\lambda\\) पर्याप्त रूप से बड़ी होती है।

यदि `तेज़` `गलत` है तो संख्यात्मक रूप से मजबूत पूर्ण ऑर्थोगोनल अपघटन पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है। यह न्यूनतम-मानक न्यूनतम-वर्ग समाधान की गणना करता है, तब भी जब \\(A\\) रैंक की कमी है। यह पथ आमतौर पर तेज़ पथ की तुलना में 6-7 गुना धीमा है। यदि `fast` `False` है तो `l2_regularizer` को अनदेखा कर दिया जाता है।