MatrixSolveLs

Giải quyết một hoặc nhiều bài toán bình phương tối thiểu tuyến tính.

`ma trận` là một tenxơ có hình dạng `[..., M, N]` có 2 chiều trong cùng tạo thành các ma trận thực hoặc phức tạp có kích thước `[M, N]`. `Rhs` là một tensor cùng loại với `ma trận` và có hình dạng `[..., M, K]`. Đầu ra là một dạng tensor `[..., N, K]` trong đó mỗi ma trận đầu ra giải từng phương trình `ma trận[..., :, :]` * `output[..., :, :] ` = `rhs[..., :, :]` theo nghĩa bình phương nhỏ nhất.

Chúng tôi sử dụng ký hiệu sau cho ma trận (phức tạp) và vế phải trong lô:

`matrix`=\\(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\\), `rhs`=\\(B \in \mathbb{C}^{m \times k}\\), `output`=\\(X \in \mathbb{C}^{n \times k}\\), `l2_regularizer`=\\(\lambda \in \mathbb{R}\\).

Nếu `fast` là `True`, thì nghiệm được tính bằng cách giải các phương trình thông thường bằng cách sử dụng phân tách Cholesky. Cụ thể, nếu \\(m \ge n\\) thì \\(X = (A^H A + \lambda I)^{-1} A^H B\\), giải quyết vấn đề bình phương nhỏ nhất \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\\). Nếu \\(m \lt n\\) thì `output` được tính là \\(X = A^H (A A^H + \lambda I)^{-1} B\\), mà (đối với \\(\lambda = 0\\)) là giải pháp định mức tối thiểu cho hệ thống tuyến tính chưa được xác định, tức là \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \mathbb{C}^{n \times k} } ||Z||_F^2 \\), tuân theo \\(A Z = B\\). Lưu ý rằng đường dẫn nhanh chỉ ổn định về mặt số khi \\(A\\) có thứ hạng đầy đủ về mặt số và có số điều kiện \\(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\\) hoặc \\(\lambda\\) đủ lớn.

Nếu `fast` là `False`, một thuật toán dựa trên phân tách trực giao hoàn chỉnh mạnh mẽ về mặt số lượng sẽ được sử dụng. Điều này tính toán giải pháp bình phương tối thiểu theo tiêu chuẩn tối thiểu, ngay cả khi \\(A\\) bị thiếu thứ hạng. Đường dẫn này thường chậm hơn 6-7 lần so với đường dẫn nhanh. Nếu `fast` là `False` thì `l2_regularizer` bị bỏ qua.