MatrixSolveLs

פותר בעיה אחת או יותר של ריבועים קטנים ליניאריים.

`מטריקס` הוא טנזור של צורה `[..., M, N]` ש-2 הממדים הפנימיים ביותר שלו יוצרים מטריצות אמיתיות או מורכבות בגודל `[M, N]`. `Rhs` הוא טנזור מאותו סוג של `מטריקס` וצורה `[..., M, K]`. הפלט הוא צורת טנזור `[..., N, K]` כאשר כל מטריצת פלט פותרת כל אחת מהמשוואות `מטריקס[..., :, :]` * `פלט[..., :, :] ` = `rhs[..., :, :]` במובן הריבועים הקטנים.

אנו משתמשים בסימון הבא עבור מטריצה ​​(מורכבת) וצד ימין באצווה:

`matrix`=\\(A \in \mathbb{C}^{m \times n}\\), `rhs`=\\(B \in \mathbb{C}^{m \times k}\\), `output`=\\(X \in \mathbb{C}^{n \times k}\\), `l2_regularizer`=\\(\lambda \in \mathbb{R}\\).

אם 'מהיר' הוא 'נכון', אז הפתרון מחושב על ידי פתרון המשוואות הנורמליות באמצעות פירוק Cholesky. באופן ספציפי, אם \\(m \ge n\\) אז \\(X = (A^H A + \lambda I)^{-1} A^H B\\), מה שפותר את בעיית הריבועים הקטנים ביותר \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\\). אם \\(m \lt n\\) אז `פלט` מחושב כ-\\(X = A^H (A A^H + \lambda I)^{-1} B\\), אשר (עבור \\(\lambda = 0\\)) הוא פתרון הנורמה המינימלית למערכת הליניארית הלא-מוגדרת, כלומר \\(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \mathbb{C}^{n \times k} } ||Z||_F^2 \\), בכפוף ל-\\(A Z = B\\). שימו לב שהנתיב המהיר יציב מספרית רק כאשר \\(A\\) הוא דירוג מלא מבחינה מספרית ויש לו תנאי שמספר \\(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\\) או \\(\lambda\\) גדול מספיק.

אם 'מהיר' הוא 'שקר', נעשה שימוש באלגוריתם המבוסס על הפירוק האורתוגונלי המלא החזק מבחינה מספרית. זה מחשב את פתרון הריבועים המינימליים ביותר, גם כאשר \\(A\\) חסר בדרגה. בדרך כלל נתיב זה איטי פי 6-7 מהנתיב המהיר. אם 'מהיר' הוא 'שקר' אז מתעלם מ-'l2_regularizer'.